MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs1 Structured version   Unicode version

Theorem lmodvs1 18107
Description: Scalar product with ring unit. (ax-hvmulid 26645 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvs1.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvs1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvs1.u  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
Assertion
Ref Expression
lmodvs1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (  .1.  .x.  X )  =  X )

Proof of Theorem lmodvs1
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
2 lmodvs1.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2422 . . . 4  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
4 lmodvs1.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
52, 3, 4lmod1cl 18106 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  .1.  e.  ( Base `  F )
)
65adantr 466 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  .1.  e.  ( Base `  F
) )
7 simpr 462 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
8 lmodvs1.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 eqid 2422 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
10 lmodvs1.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
11 eqid 2422 . . . 4  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
12 eqid 2422 . . . 4  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
138, 9, 10, 2, 3, 11, 12, 4lmodlema 18084 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  .1.  e.  ( Base `  F
)  /\  .1.  e.  ( Base `  F )
)  /\  ( X  e.  V  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( (  .1. 
.x.  X )  e.  V  /\  (  .1. 
.x.  ( X ( +g  `  W ) X ) )  =  ( (  .1.  .x.  X ) ( +g  `  W ) (  .1. 
.x.  X ) )  /\  ( (  .1.  ( +g  `  F
)  .1.  )  .x.  X )  =  ( (  .1.  .x.  X
) ( +g  `  W
) (  .1.  .x.  X ) ) )  /\  ( ( (  .1.  ( .r `  F )  .1.  )  .x.  X )  =  (  .1.  .x.  (  .1.  .x. 
X ) )  /\  (  .1.  .x.  X )  =  X ) ) )
1413simprrd 765 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  .1.  e.  ( Base `  F
)  /\  .1.  e.  ( Base `  F )
)  /\  ( X  e.  V  /\  X  e.  V ) )  -> 
(  .1.  .x.  X
)  =  X )
151, 6, 6, 7, 7, 14syl122anc 1273 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (  .1.  .x.  X )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Basecbs 15109   +g cplusg 15178   .rcmulr 15179  Scalarcsca 15181   .scvsca 15182   1rcur 17723   LModclmod 18079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-plusg 15191  df-0g 15328  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-lmod 18081
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  18119  lmodcom  18122  lssvacl  18165  islss3  18170  prdslmodd  18180  lspsn  18213  islmhm2  18249  lbsind2  18292  lvecvs0or  18319  lssvs0or  18321  lvecinv  18324  lspsnvs  18325  lspsneq  18333  lspfixed  18339  lspexch  18340  lspsolv  18354  asclrhm  18554  assamulgscmlem1  18560  coe1pwmul  18860  ply1scl1  18873  ply1idvr1  18874  frlmup2  19344  lindfind2  19363  scmatid  19526  scmatmhm  19546  matinv  19689  decpmatid  19781  idpm2idmp  19812  chfacfscmulgsum  19871  cpmadugsumlemF  19887  clmvs1  22107  deg1pwle  23055  deg1pw  23056  ply1remlem  23100  lfl0  32550  lfladd  32551  dochfl1  34963  lcfl7lem  34986  mapdpglem21  35179  mapdpglem30  35189  mapdpglem31  35190  hgmapval1  35383  mendlmod  35979  lmod0rng  39140  ascl1  39444  ply1vr1smo  39447  linc1  39492  ldepspr  39540  lincresunit3lem3  39541  islindeps2  39550
  Copyright terms: Public domain W3C validator