MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs1 Structured version   Unicode version

Theorem lmodvs1 17858
Description: Scalar product with ring unit. (ax-hvmulid 26323 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvs1.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvs1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvs1.u  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
Assertion
Ref Expression
lmodvs1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (  .1.  .x.  X )  =  X )

Proof of Theorem lmodvs1
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
2 lmodvs1.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
4 lmodvs1.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
52, 3, 4lmod1cl 17857 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  .1.  e.  ( Base `  F )
)
65adantr 463 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  .1.  e.  ( Base `  F
) )
7 simpr 459 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
8 lmodvs1.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
10 lmodvs1.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
11 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
12 eqid 2402 . . . 4  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
138, 9, 10, 2, 3, 11, 12, 4lmodlema 17835 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  .1.  e.  ( Base `  F
)  /\  .1.  e.  ( Base `  F )
)  /\  ( X  e.  V  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( (  .1. 
.x.  X )  e.  V  /\  (  .1. 
.x.  ( X ( +g  `  W ) X ) )  =  ( (  .1.  .x.  X ) ( +g  `  W ) (  .1. 
.x.  X ) )  /\  ( (  .1.  ( +g  `  F
)  .1.  )  .x.  X )  =  ( (  .1.  .x.  X
) ( +g  `  W
) (  .1.  .x.  X ) ) )  /\  ( ( (  .1.  ( .r `  F )  .1.  )  .x.  X )  =  (  .1.  .x.  (  .1.  .x. 
X ) )  /\  (  .1.  .x.  X )  =  X ) ) )
1413simprrd 759 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  .1.  e.  ( Base `  F
)  /\  .1.  e.  ( Base `  F )
)  /\  ( X  e.  V  /\  X  e.  V ) )  -> 
(  .1.  .x.  X
)  =  X )
151, 6, 6, 7, 7, 14syl122anc 1239 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (  .1.  .x.  X )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   .rcmulr 14908  Scalarcsca 14910   .scvsca 14911   1rcur 17471   LModclmod 17830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-lmod 17832
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  17871  lmodcom  17874  lssvacl  17918  islss3  17923  prdslmodd  17933  lspsn  17966  islmhm2  18002  lbsind2  18045  lvecvs0or  18072  lssvs0or  18074  lvecinv  18077  lspsnvs  18078  lspsneq  18086  lspfixed  18092  lspexch  18093  lspsolv  18107  asclrhm  18309  assamulgscmlem1  18315  coe1pwmul  18638  ply1scl1  18651  ply1idvr1  18652  frlmup2  19124  lindfind2  19143  scmatid  19306  scmatmhm  19326  matinv  19469  decpmatid  19561  idpm2idmp  19592  chfacfscmulgsum  19651  cpmadugsumlemF  19667  clmvs1  21879  deg1pwle  22810  deg1pw  22811  ply1remlem  22853  lfl0  32063  lfladd  32064  dochfl1  34476  lcfl7lem  34499  mapdpglem21  34692  mapdpglem30  34702  mapdpglem31  34703  hgmapval1  34896  mendlmod  35486  lmod0rng  38166  ascl1  38470  ply1vr1smo  38473  linc1  38518  ldepspr  38566  lincresunit3lem3  38567  islindeps2  38576
  Copyright terms: Public domain W3C validator