MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs1 Structured version   Unicode version

Theorem lmodvs1 16976
Description: Scalar product with ring unit. (ax-hvmulid 24408 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvs1.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvs1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvs1.u  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
Assertion
Ref Expression
lmodvs1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (  .1.  .x.  X )  =  X )

Proof of Theorem lmodvs1
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
2 lmodvs1.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
4 lmodvs1.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
52, 3, 4lmod1cl 16975 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  .1.  e.  ( Base `  F )
)
65adantr 465 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  .1.  e.  ( Base `  F
) )
7 simpr 461 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
8 lmodvs1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
10 lmodvs1.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
11 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
12 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
138, 9, 10, 2, 3, 11, 12, 4lmodlema 16953 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  .1.  e.  ( Base `  F
)  /\  .1.  e.  ( Base `  F )
)  /\  ( X  e.  V  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( (  .1. 
.x.  X )  e.  V  /\  (  .1. 
.x.  ( X ( +g  `  W ) X ) )  =  ( (  .1.  .x.  X ) ( +g  `  W ) (  .1. 
.x.  X ) )  /\  ( (  .1.  ( +g  `  F
)  .1.  )  .x.  X )  =  ( (  .1.  .x.  X
) ( +g  `  W
) (  .1.  .x.  X ) ) )  /\  ( ( (  .1.  ( .r `  F )  .1.  )  .x.  X )  =  (  .1.  .x.  (  .1.  .x. 
X ) )  /\  (  .1.  .x.  X )  =  X ) ) )
1413simprd 463 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  .1.  e.  ( Base `  F
)  /\  .1.  e.  ( Base `  F )
)  /\  ( X  e.  V  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( (  .1.  ( .r `  F
)  .1.  )  .x.  X )  =  (  .1.  .x.  (  .1.  .x. 
X ) )  /\  (  .1.  .x.  X )  =  X ) )
1514simprd 463 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  .1.  e.  ( Base `  F
)  /\  .1.  e.  ( Base `  F )
)  /\  ( X  e.  V  /\  X  e.  V ) )  -> 
(  .1.  .x.  X
)  =  X )
161, 6, 6, 7, 7, 15syl122anc 1227 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (  .1.  .x.  X )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   1rcur 16603   LModclmod 16948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-lmod 16950
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  16988  lmodcom  16991  lssvacl  17035  islss3  17040  prdslmodd  17050  lspsn  17083  islmhm2  17119  lbsind2  17162  lvecvs0or  17189  lssvs0or  17191  lvecinv  17194  lspsnvs  17195  lspsneq  17203  lspfixed  17209  lspexch  17210  lspsolv  17224  asclrhm  17412  coe1pwmul  17732  ply1scl1  17744  frlmup2  18227  lindfind2  18247  matinv  18483  clmvs1  20661  deg1pwle  21591  deg1pw  21592  ply1remlem  21634  mendlmod  29550  lmod0rng  30779  ascl1  30816  assamulgscmlem1  30820  ply1vr1smo  30825  ply1idvr1  30827  pmatcollpw1id  30899  idpmattoidmply1  30915  linc1  30959  ldepspr  31007  lincresunit3lem3  31008  islindeps2  31017  lfl0  32710  lfladd  32711  dochfl1  35121  lcfl7lem  35144  mapdpglem21  35337  mapdpglem30  35347  mapdpglem31  35348  hgmapval1  35541
  Copyright terms: Public domain W3C validator