MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs0 Structured version   Unicode version

Theorem lmodvs0 16962
Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (hvmul0 24345 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs0.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvs0.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvs0.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodvs0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvs0  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem lmodvs0
StepHypRef Expression
1 lmodvs0.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodrng 16936 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
3 lmodvs0.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
5 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
63, 4, 5rngrz 16672 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  ( X ( .r `  F ) ( 0g
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) )
72, 6sylan 468 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X ( .r `  F ) ( 0g
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) )
87oveq1d 6105 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( ( 0g
`  F )  .x.  .0.  ) )
9 simpl 454 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  W  e.  LMod )
10 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  X  e.  K )
112adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  F  e.  Ring )
123, 5rng0cl 16656 . . . . 5  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 0g
`  F )  e.  K )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( 0g `  F )  e.  K )
14 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
15 lmodvs0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
1614, 15lmod0vcl 16957 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  ( Base `  W )
)
1716adantr 462 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  .0.  e.  ( Base `  W
) )
18 lmodvs0.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
1914, 1, 18, 3, 4lmodvsass 16953 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  K  /\  ( 0g `  F )  e.  K  /\  .0.  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( ( X ( .r `  F ) ( 0g `  F
) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  ( ( 0g `  F )  .x.  .0.  ) ) )
209, 10, 13, 17, 19syl13anc 1215 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  ( ( 0g `  F )  .x.  .0.  ) ) )
2114, 1, 18, 5, 15lmod0vs 16961 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  .0.  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2217, 21syldan 467 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2322oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  ( ( 0g
`  F )  .x.  .0.  ) )  =  ( X  .x.  .0.  )
)
2420, 23eqtrd 2473 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  .0.  ) )
258, 24, 223eqtr3d 2481 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   .rcmulr 14235  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   0gc0g 14374   Ringcrg 16635   LModclmod 16928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-mgp 16582  df-rng 16637  df-lmod 16930
This theorem is referenced by:  lsssn0  17007  lmodvsinv2  17096  0lmhm  17099  lvecvs0or  17167  dsmmlss  18069  ttgbtwnid  23049  lmodvsmdi  30696  linc0scn0  30781  lcdvs0N  34949  hdmap14lem13  35216
  Copyright terms: Public domain W3C validator