MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs0 Structured version   Unicode version

Theorem lmodvs0 17420
Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (hvmul0 25813 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs0.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvs0.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvs0.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodvs0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvs0  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem lmodvs0
StepHypRef Expression
1 lmodvs0.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodring 17394 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
3 lmodvs0.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
63, 4, 5ringrz 17110 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  ( X ( .r `  F ) ( 0g
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) )
72, 6sylan 471 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X ( .r `  F ) ( 0g
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) )
87oveq1d 6296 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( ( 0g
`  F )  .x.  .0.  ) )
9 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  W  e.  LMod )
10 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  X  e.  K )
112adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  F  e.  Ring )
123, 5ring0cl 17094 . . . . 5  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 0g
`  F )  e.  K )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( 0g `  F )  e.  K )
14 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
15 lmodvs0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
1614, 15lmod0vcl 17415 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  ( Base `  W )
)
1716adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  .0.  e.  ( Base `  W
) )
18 lmodvs0.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
1914, 1, 18, 3, 4lmodvsass 17411 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  K  /\  ( 0g `  F )  e.  K  /\  .0.  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( ( X ( .r `  F ) ( 0g `  F
) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  ( ( 0g `  F )  .x.  .0.  ) ) )
209, 10, 13, 17, 19syl13anc 1231 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  ( ( 0g `  F )  .x.  .0.  ) ) )
2114, 1, 18, 5, 15lmod0vs 17419 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  .0.  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2217, 21syldan 470 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2322oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  ( ( 0g
`  F )  .x.  .0.  ) )  =  ( X  .x.  .0.  )
)
2420, 23eqtrd 2484 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  .0.  ) )
258, 24, 223eqtr3d 2492 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   .rcmulr 14575  Scalarcsca 14577   .scvsca 14578   0gc0g 14714   Ringcrg 17072   LModclmod 17386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-mgp 17016  df-ring 17074  df-lmod 17388
This theorem is referenced by:  lsssn0  17468  lmodvsinv2  17557  0lmhm  17560  lvecvs0or  17628  dsmmlss  18648  pmatcollpwfi  19156  pmatcollpw3fi1lem1  19160  pm2mp  19199  chfacfscmul0  19232  ttgbtwnid  24059  lmodvsmdi  32705  linc0scn0  32754  lcdvs0N  37077  hdmap14lem13  37344
  Copyright terms: Public domain W3C validator