MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs0 Structured version   Unicode version

Theorem lmodvs0 17341
Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (hvmul0 25633 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs0.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvs0.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvs0.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodvs0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvs0  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem lmodvs0
StepHypRef Expression
1 lmodvs0.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodrng 17315 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
3 lmodvs0.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
63, 4, 5rngrz 17032 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  ( X ( .r `  F ) ( 0g
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) )
72, 6sylan 471 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X ( .r `  F ) ( 0g
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) )
87oveq1d 6298 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( ( 0g
`  F )  .x.  .0.  ) )
9 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  W  e.  LMod )
10 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  X  e.  K )
112adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  F  e.  Ring )
123, 5rng0cl 17016 . . . . 5  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 0g
`  F )  e.  K )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( 0g `  F )  e.  K )
14 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
15 lmodvs0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
1614, 15lmod0vcl 17336 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  ( Base `  W )
)
1716adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  .0.  e.  ( Base `  W
) )
18 lmodvs0.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
1914, 1, 18, 3, 4lmodvsass 17332 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  K  /\  ( 0g `  F )  e.  K  /\  .0.  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( ( X ( .r `  F ) ( 0g `  F
) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  ( ( 0g `  F )  .x.  .0.  ) ) )
209, 10, 13, 17, 19syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  ( ( 0g `  F )  .x.  .0.  ) ) )
2114, 1, 18, 5, 15lmod0vs 17340 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  .0.  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2217, 21syldan 470 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2322oveq2d 6299 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  ( ( 0g
`  F )  .x.  .0.  ) )  =  ( X  .x.  .0.  )
)
2420, 23eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  .0.  ) )
258, 24, 223eqtr3d 2516 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   .rcmulr 14555  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694   Ringcrg 16995   LModclmod 17307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-mgp 16941  df-rng 16997  df-lmod 17309
This theorem is referenced by:  lsssn0  17389  lmodvsinv2  17478  0lmhm  17481  lvecvs0or  17549  dsmmlss  18558  pmatcollpwfi  19066  pmatcollpw3fi1lem1  19070  pm2mp  19109  chfacfscmul0  19142  ttgbtwnid  23879  lmodvsmdi  32065  linc0scn0  32114  lcdvs0N  36422  hdmap14lem13  36689
  Copyright terms: Public domain W3C validator