MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvnpcan Unicode version

Theorem lmodvnpcan 15953
Description: Cancellation law for vector subtraction (npcan 9270 analog). (Contributed by NM, 19-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmod4.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lmodvaddsub4.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvnpcan  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .-  B
)  .+  B )  =  A )

Proof of Theorem lmodvnpcan
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15912 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmod4.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmod4.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
4 lmodvaddsub4.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  W )
52, 3, 4grpnpcan 14835 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( A  .-  B )  .+  B
)  =  A )
61, 5syl3an1 1217 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .-  B
)  .+  B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   Grpcgrp 14640   -gcsg 14643   LModclmod 15905
This theorem is referenced by:  lkrlsp  29585  mapdpglem9  32163  mapdpglem14  32168
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-lmod 15907
  Copyright terms: Public domain W3C validator