MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvnpcan Structured version   Unicode version

Theorem lmodvnpcan 17004
Description: Cancellation law for vector subtraction (npcan 9624 analog). (Contributed by NM, 19-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmod4.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lmodvaddsub4.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvnpcan  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .-  B
)  .+  B )  =  A )

Proof of Theorem lmodvnpcan
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 16960 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmod4.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmod4.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
4 lmodvaddsub4.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  W )
52, 3, 4grpnpcan 15622 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( A  .-  B )  .+  B
)  =  A )
61, 5syl3an1 1251 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .-  B
)  .+  B )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   Grpcgrp 15415   -gcsg 15418   LModclmod 16953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-lmod 16955
This theorem is referenced by:  lkrlsp  32752  mapdpglem9  35330  mapdpglem14  35335
  Copyright terms: Public domain W3C validator