MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvnegcl Structured version   Unicode version

Theorem lmodvnegcl 17101
Description: Closure of vector negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvnegcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvnegcl.n  |-  N  =  ( invg `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvnegcl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  V )

Proof of Theorem lmodvnegcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17070 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvnegcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvnegcl.n . . 3  |-  N  =  ( invg `  W )
42, 3grpinvcl 15694 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X
)  e.  V )
51, 4sylan 471 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5519   Basecbs 14285   Grpcgrp 15521   invgcminusg 15522   LModclmod 17063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-lmod 17065
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  17103  lspsnneg  17202  lspsntrim  17294  baerlem5amN  35670  baerlem5bmN  35671  baerlem5abmN  35672  hdmap1neglem1N  35782  hdmapneg  35803  hdmapsub  35804
  Copyright terms: Public domain W3C validator