MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvnegcl Structured version   Unicode version

Theorem lmodvnegcl 17419
Description: Closure of vector negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvnegcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvnegcl.n  |-  N  =  ( invg `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvnegcl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  V )

Proof of Theorem lmodvnegcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17387 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvnegcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvnegcl.n . . 3  |-  N  =  ( invg `  W )
42, 3grpinvcl 15964 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X
)  e.  V )
51, 4sylan 471 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574   Basecbs 14504   Grpcgrp 15922   invgcminusg 15923   LModclmod 17380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-lmod 17382
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  17421  lspsnneg  17520  lspsntrim  17612  baerlem5amN  37145  baerlem5bmN  37146  baerlem5abmN  37147  hdmap1neglem1N  37257  hdmapneg  37278  hdmapsub  37279
  Copyright terms: Public domain W3C validator