MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdir Structured version   Unicode version

Theorem lmodsubdir 17695
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 26094 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdir.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubdir.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubdir.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubdir.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubdir.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubdir.s  |-  S  =  ( -g `  F
)
lmodsubdir.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubdir.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubdir.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lmodsubdir.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubdir  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdir
StepHypRef Expression
1 lmodsubdir.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubdir.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
3 lmodsubdir.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
43lmodring 17647 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
51, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
6 ringgrp 17330 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
8 lmodsubdir.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 lmodsubdir.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( invg `  F )  =  ( invg `  F )
119, 10grpinvcl 16222 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  B  e.  K )  ->  ( ( invg `  F ) `  B
)  e.  K )
127, 8, 11syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  F ) `  B
)  e.  K )
13 lmodsubdir.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 lmodsubdir.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
16 lmodsubdir.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1814, 15, 3, 16, 9, 17lmodvsdir 17663 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  ( ( invg `  F ) `  B
)  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( A ( +g  `  F
) ( ( invg `  F ) `
 B ) ) 
.x.  X )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `  B
)  .x.  X )
) )
191, 2, 12, 13, 18syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  F ) ( ( invg `  F ) `  B
) )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  B )  .x.  X ) ) )
20 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
21 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
229, 20, 21, 10, 5, 8ringnegl 17367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  =  ( ( invg `  F ) `  B
) )
2322oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  B
)  .x.  X )
)
249, 21ringidcl 17346 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
255, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
269, 10grpinvcl 16222 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
277, 25, 26syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2814, 3, 16, 9, 20lmodvsass 17664 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
291, 27, 8, 13, 28syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
3023, 29eqtr3d 2500 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  F ) `
 B )  .x.  X )  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
3130oveq2d 6312 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `  B
)  .x.  X )
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
3219, 31eqtrd 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  F ) ( ( invg `  F ) `  B
) )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
33 lmodsubdir.s . . . . 5  |-  S  =  ( -g `  F
)
349, 17, 10, 33grpsubval 16220 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A S B )  =  ( A ( +g  `  F
) ( ( invg `  F ) `
 B ) ) )
352, 8, 34syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A S B )  =  ( A ( +g  `  F
) ( ( invg `  F ) `
 B ) ) )
3635oveq1d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A ( +g  `  F
) ( ( invg `  F ) `
 B ) ) 
.x.  X ) )
3714, 3, 16, 9lmodvscl 17656 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
381, 2, 13, 37syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
3914, 3, 16, 9lmodvscl 17656 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
401, 8, 13, 39syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
41 lmodsubdir.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
4214, 15, 41, 3, 16, 10, 21lmodvsubval2 17692 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  X )  e.  V )  ->  (
( A  .x.  X
)  .-  ( B  .x.  X ) )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
431, 38, 40, 42syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( B  .x.  X ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
4432, 36, 433eqtr4d 2508 1  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   Grpcgrp 16180   invgcminusg 16181   -gcsg 16182   1rcur 17280   Ringcrg 17325   LModclmod 17639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641
This theorem is referenced by:  lvecvscan2  17885  scmatsubcl  19146  nlmdsdir  21317  clmsubdir  21720  ttgcontlem1  24315
  Copyright terms: Public domain W3C validator