MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdir Structured version   Unicode version

Theorem lmodsubdir 17003
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 24452 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdir.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubdir.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubdir.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubdir.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubdir.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubdir.s  |-  S  =  ( -g `  F
)
lmodsubdir.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubdir.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubdir.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lmodsubdir.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubdir  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdir
StepHypRef Expression
1 lmodsubdir.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubdir.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
3 lmodsubdir.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
43lmodrng 16956 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
51, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
6 rnggrp 16650 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
8 lmodsubdir.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 lmodsubdir.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( invg `  F )  =  ( invg `  F )
119, 10grpinvcl 15583 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  B  e.  K )  ->  ( ( invg `  F ) `  B
)  e.  K )
127, 8, 11syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  F ) `  B
)  e.  K )
13 lmodsubdir.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 lmodsubdir.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
16 lmodsubdir.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1814, 15, 3, 16, 9, 17lmodvsdir 16972 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  ( ( invg `  F ) `  B
)  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( A ( +g  `  F
) ( ( invg `  F ) `
 B ) ) 
.x.  X )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `  B
)  .x.  X )
) )
191, 2, 12, 13, 18syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  F ) ( ( invg `  F ) `  B
) )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  B )  .x.  X ) ) )
20 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
21 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
229, 20, 21, 10, 5, 8rngnegl 16685 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  =  ( ( invg `  F ) `  B
) )
2322oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  B
)  .x.  X )
)
249, 21rngidcl 16665 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
255, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
269, 10grpinvcl 15583 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
277, 25, 26syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2814, 3, 16, 9, 20lmodvsass 16973 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
291, 27, 8, 13, 28syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
3023, 29eqtr3d 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  F ) `
 B )  .x.  X )  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
3130oveq2d 6107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `  B
)  .x.  X )
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
3219, 31eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  F ) ( ( invg `  F ) `  B
) )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
33 lmodsubdir.s . . . . 5  |-  S  =  ( -g `  F
)
349, 17, 10, 33grpsubval 15581 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A S B )  =  ( A ( +g  `  F
) ( ( invg `  F ) `
 B ) ) )
352, 8, 34syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A S B )  =  ( A ( +g  `  F
) ( ( invg `  F ) `
 B ) ) )
3635oveq1d 6106 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A ( +g  `  F
) ( ( invg `  F ) `
 B ) ) 
.x.  X ) )
3714, 3, 16, 9lmodvscl 16965 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
381, 2, 13, 37syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
3914, 3, 16, 9lmodvscl 16965 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
401, 8, 13, 39syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
41 lmodsubdir.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
4214, 15, 41, 3, 16, 10, 21lmodvsubval2 17000 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  X )  e.  V )  ->  (
( A  .x.  X
)  .-  ( B  .x.  X ) )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
431, 38, 40, 42syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( B  .x.  X ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
4432, 36, 433eqtr4d 2485 1  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   Grpcgrp 15410   invgcminusg 15411   -gcsg 15413   1rcur 16603   Ringcrg 16645   LModclmod 16948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-lmod 16950
This theorem is referenced by:  lvecvscan2  17193  nlmdsdir  20263  clmsubdir  20666  ttgcontlem1  23131
  Copyright terms: Public domain W3C validator