MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodstr Structured version   Unicode version

Theorem lmodstr 14615
Description: A constructed left module or left vector space is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lvecfn.w  |-  W  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )
Assertion
Ref Expression
lmodstr  |-  W Struct  <. 1 ,  6 >.

Proof of Theorem lmodstr
StepHypRef Expression
1 lvecfn.w . 2  |-  W  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )
2 1nn 10543 . . . 4  |-  1  e.  NN
3 basendx 14536 . . . 4  |-  ( Base `  ndx )  =  1
4 1lt2 10698 . . . 4  |-  1  <  2
5 2nn 10689 . . . 4  |-  2  e.  NN
6 plusgndx 14585 . . . 4  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
7 2lt5 10706 . . . 4  |-  2  <  5
8 5nn 10692 . . . 4  |-  5  e.  NN
9 scandx 14611 . . . 4  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9strle3 14584 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. } Struct  <. 1 ,  5
>.
11 6nn 10693 . . . 4  |-  6  e.  NN
12 vscandx 14613 . . . 4  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
1311, 12strle1 14582 . . 3  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } Struct  <. 6 ,  6 >.
14 5lt6 10708 . . 3  |-  5  <  6
1510, 13, 14strleun 14581 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } ) Struct  <. 1 ,  6 >.
161, 15eqbrtri 4466 1  |-  W Struct  <. 1 ,  6 >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    u. cun 3474   {csn 4027   {ctp 4031   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   1c1 9489   2c2 10581   5c5 10584   6c6 10585   Struct cstr 14482   ndxcnx 14483   Basecbs 14486   +g cplusg 14551  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-sca 14567  df-vsca 14568
This theorem is referenced by:  lmodbase  14616  lmodplusg  14617  lmodsca  14618  lmodvsca  14619  phlstr  14632
  Copyright terms: Public domain W3C validator