MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodring Structured version   Unicode version

Theorem lmodring 17388
Description: The scalar component of a left module is a ring. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmodring.1  |-  F  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodring  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )

Proof of Theorem lmodring
Dummy variables  r 
q  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2441 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
3 eqid 2441 . . 3  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
4 lmodring.1 . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
5 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
6 eqid 2441 . . 3  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
7 eqid 2441 . . 3  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
8 eqid 2441 . . 3  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8islmod 17384 . 2  |-  ( W  e.  LMod  <->  ( W  e. 
Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  (
Base `  F ) A. r  e.  ( Base `  F ) A. x  e.  ( Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( r ( .s `  W ) w )  e.  ( Base `  W
)  /\  ( r
( .s `  W
) ( w ( +g  `  W ) x ) )  =  ( ( r ( .s `  W ) w ) ( +g  `  W ) ( r ( .s `  W
) x ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  W ) w )  =  ( ( q ( .s
`  W ) w ) ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  W
) w )  =  ( q ( .s
`  W ) ( r ( .s `  W ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  W
) w )  =  w ) ) ) )
109simp2bi 1011 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   +g cplusg 14569   .rcmulr 14570  Scalarcsca 14572   .scvsca 14573   Grpcgrp 15922   1rcur 17021   Ringcrg 17066   LModclmod 17380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-nul 4562
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-iota 5537  df-fv 5582  df-ov 6280  df-lmod 17382
This theorem is referenced by:  lmodfgrp  17389  lmodmcl  17392  lmod0cl  17406  lmod1cl  17407  lmod0vs  17413  lmodvs0  17414  lmodvsmmulgdi  17415  lmodvsneg  17422  lmodsubvs  17434  lmodsubdi  17435  lmodsubdir  17436  lssvnegcl  17470  islss3  17473  pwslmod  17484  lmodvsinv  17550  islmhm2  17552  lbsind2  17595  lspsneq  17636  lspexch  17643  asclghm  17855  ip2subdi  18546  isphld  18556  ocvlss  18570  frlmup1  18699  frlmup2  18700  frlmup3  18701  frlmup4  18702  islindf5  18741  lmisfree  18744  tlmtgp  20564  clmring  21436  lmodslmd  27613  lmod0rng  32669  ascl1  32688  linc0scn0  32734  linc1  32736  lincscm  32741  lincscmcl  32743  el0ldep  32777  lindsrng01  32779  lindszr  32780  ldepsprlem  32783  ldepspr  32784  lincresunit3lem3  32785  lincresunitlem1  32786  lincresunitlem2  32787  lincresunit2  32789  lincresunit3lem1  32790  lfl0  34492  lfladd  34493  lflsub  34494  lfl0f  34496  lfladdcl  34498  lfladdcom  34499  lfladdass  34500  lfladd0l  34501  lflnegcl  34502  lflnegl  34503  lflvscl  34504  lflvsdi1  34505  lflvsdi2  34506  lflvsass  34508  lfl0sc  34509  lflsc0N  34510  lfl1sc  34511  lkrlss  34522  eqlkr  34526  eqlkr3  34528  lkrlsp  34529  ldualvsass  34568  lduallmodlem  34579  ldualvsubcl  34583  ldualvsubval  34584  lkrin  34591  dochfl1  36905  lcfl7lem  36928  lclkrlem2m  36948  lclkrlem2o  36950  lclkrlem2p  36951  lcfrlem1  36971  lcfrlem2  36972  lcfrlem3  36973  lcfrlem29  37000  lcfrlem33  37004  lcdvsubval  37047  mapdpglem30  37131  baerlem3lem1  37136  baerlem5alem1  37137  baerlem5blem1  37138  baerlem5blem2  37141  hgmapval1  37325  hdmapinvlem3  37352  hdmapinvlem4  37353  hdmapglem5  37354  hgmapvvlem1  37355  hdmapglem7b  37360  hdmapglem7  37361
  Copyright terms: Public domain W3C validator