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Theorem lmodprop2d 16987
Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. This version of lmodpropd 16988 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodprop2d.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
lmodprop2d.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
lmodprop2d.f  |-  F  =  (Scalar `  K )
lmodprop2d.g  |-  G  =  (Scalar `  L )
lmodprop2d.p1  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
lmodprop2d.p2  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
lmodprop2d.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
lmodprop2d.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
lmodprop2d.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  =  ( x ( .r `  G
) y ) )
lmodprop2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
lmodprop2d  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    ph, x, y    x, G, y    x, K, y    x, L, y   
x, P, y

Proof of Theorem lmodprop2d
Dummy variables  r 
q  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 16935 . . . 4  |-  ( K  e.  LMod  ->  K  e. 
Grp )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  ->  K  e.  Grp )
)
3 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
5 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .s
`  K )  =  ( .s `  K
)
6 lmodprop2d.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  K )
7 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
8 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
9 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
10 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10islmod 16932 . . . . 5  |-  ( K  e.  LMod  <->  ( K  e. 
Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  (
Base `  F ) A. r  e.  ( Base `  F ) A. z  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
1211simp2bi 999 . . . 4  |-  ( K  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  ->  F  e.  Ring ) )
14 simplr 749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  K  e.  LMod )
15 simprl 750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  P )
16 lmodprop2d.p1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
1716ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  P  =  ( Base `  F )
)
1815, 17eleqtrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ( Base `  F )
)
19 simprr 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
20 lmodprop2d.b1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2120ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  B  =  ( Base `  K )
)
2219, 21eleqtrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
233, 6, 5, 7lmodvscl 16945 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  e.  ( Base `  K
) )
2414, 18, 22, 23syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  e.  ( Base `  K
) )
2524, 21eleqtrrd 2518 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
2625ralrimivva 2806 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  LMod )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
2726ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  B ) )
282, 13, 273jcad 1164 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  -> 
( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  (
x ( .s `  K ) y )  e.  B ) ) )
29 lmodgrp 16935 . . . 4  |-  ( L  e.  LMod  ->  L  e. 
Grp )
30 lmodprop2d.b2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
31 lmodprop2d.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
3220, 30, 31grppropd 15549 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Grp  <->  L  e.  Grp ) )
3329, 32syl5ibr 221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  LMod  ->  K  e.  Grp )
)
34 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
35 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
36 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
37 lmodprop2d.g . . . . . 6  |-  G  =  (Scalar `  L )
38 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
39 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
40 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .r
`  G )  =  ( .r `  G
)
41 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  G )  =  ( 1r `  G
)
4234, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41islmod 16932 . . . . 5  |-  ( L  e.  LMod  <->  ( L  e. 
Grp  /\  G  e.  Ring  /\  A. q  e.  (
Base `  G ) A. r  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
4342simp2bi 999 . . . 4  |-  ( L  e.  LMod  ->  G  e. 
Ring )
44 lmodprop2d.p2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
45 lmodprop2d.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
46 lmodprop2d.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  =  ( x ( .r `  G
) y ) )
4716, 44, 45, 46rngpropd 16666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  Ring  <->  G  e.  Ring ) )
4843, 47syl5ibr 221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  LMod  ->  F  e.  Ring ) )
49 simplr 749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  L  e.  LMod )
50 simprl 750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  P )
5144ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  P  =  ( Base `  G )
)
5250, 51eleqtrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
53 simprr 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
5430ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  B  =  ( Base `  L )
)
5553, 54eleqtrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  L )
)
5634, 37, 36, 38lmodvscl 16945 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  L )
)  ->  ( x
( .s `  L
) y )  e.  ( Base `  L
) )
5749, 52, 55, 56syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  L
) y )  e.  ( Base `  L
) )
58 lmodprop2d.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
5958adantlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  =  ( x ( .s
`  L ) y ) )
6057, 59, 543eltr4d 2522 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
6160ralrimivva 2806 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  e.  LMod )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
6261ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  LMod  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  B ) )
6333, 48, 623jcad 1164 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  e.  LMod  -> 
( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  (
x ( .s `  K ) y )  e.  B ) ) )
6432adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( K  e.  Grp  <->  L  e.  Grp ) )
6547adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( F  e.  Ring  <->  G  e.  Ring ) )
66 simpll 748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  ph )
67 simprlr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  r  e.  P )
68 simprrr 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  w  e.  B )
6958proplem 14624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  L
) w ) )
7066, 67, 68, 69syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) w )  =  ( r ( .s `  L ) w ) )
7170eleq1d 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w )  e.  B  <->  ( r
( .s `  L
) w )  e.  B ) )
72 simplr1 1025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  K  e.  Grp )
7320ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
7468, 73eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  w  e.  ( Base `  K
) )
75 simprrl 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  z  e.  B )
7675, 73eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  z  e.  ( Base `  K
) )
773, 4grpcl 15544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Grp  /\  w  e.  ( Base `  K )  /\  z  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  e.  ( Base `  K
) )
7872, 74, 76, 77syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  e.  ( Base `  K
) )
7978, 73eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  e.  B )
8058proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  (
w ( +g  `  K
) z )  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  K ) z ) ) )
8166, 67, 79, 80syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  K ) z ) ) )
8231proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  L ) z ) )
8366, 68, 75, 82syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  =  ( w ( +g  `  L ) z ) )
8483oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  L ) z ) ) )
8581, 84eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  L ) z ) ) )
86 simplr3 1027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
87 proplem2 14623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  P  /\  w  e.  B
)  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )  ->  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B )
8867, 68, 86, 87syl21anc 1212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B )
89 proplem2 14623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  P  /\  z  e.  B
)  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )  ->  (
r ( .s `  K ) z )  e.  B )
9067, 75, 86, 89syl21anc 1212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) z )  e.  B )
9131proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
r ( .s `  K ) w )  e.  B  /\  (
r ( .s `  K ) z )  e.  B ) )  ->  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  K ) z ) ) )
9266, 88, 90, 91syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  K
) z ) ) )
9358proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  z  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  =  ( r ( .s `  L
) z ) )
9466, 67, 75, 93syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) z )  =  ( r ( .s `  L ) z ) )
9570, 94oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) ) )
9692, 95eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) ) )
9785, 96eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  <->  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) ) ) )
98 simplr2 1026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  F  e.  Ring )
99 simprll 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  q  e.  P )
10016ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  P  =  ( Base `  F
) )
10199, 100eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  q  e.  ( Base `  F
) )
10267, 100eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  r  e.  ( Base `  F
) )
1037, 8rngacl 16662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  q  e.  ( Base `  F
)  /\  r  e.  ( Base `  F )
)  ->  ( q
( +g  `  F ) r )  e.  (
Base `  F )
)
10498, 101, 102, 103syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( +g  `  F
) r )  e.  ( Base `  F
) )
105104, 100eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( +g  `  F
) r )  e.  P )
10658proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
q ( +g  `  F
) r )  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( q ( +g  `  F ) r ) ( .s
`  K ) w )  =  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  L ) w ) )
10766, 105, 68, 106syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( +g  `  F ) r ) ( .s
`  L ) w ) )
10845proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  P  /\  r  e.  P ) )  -> 
( q ( +g  `  F ) r )  =  ( q ( +g  `  G ) r ) )
109108ad2ant2r 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( +g  `  F
) r )  =  ( q ( +g  `  G ) r ) )
110109oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( +g  `  G ) r ) ( .s
`  L ) w ) )
111107, 110eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( +g  `  G ) r ) ( .s
`  L ) w ) )
112 proplem2 14623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( q  e.  P  /\  w  e.  B
)  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )  ->  (
q ( .s `  K ) w )  e.  B )
11399, 68, 86, 112syl21anc 1212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  K ) w )  e.  B )
11431proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
q ( .s `  K ) w )  e.  B  /\  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( ( q ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )
11566, 113, 88, 114syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )
11658proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( q ( .s
`  K ) w )  =  ( q ( .s `  L
) w ) )
11766, 99, 68, 116syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  K ) w )  =  ( q ( .s `  L ) w ) )
118117, 70oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )
119115, 118eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )
120111, 119eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( q ( +g  `  F ) r ) ( .s
`  K ) w )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  <->  ( (
q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) ) )
12171, 97, 1203anbi123d 1284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( r ( .s `  K ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )  <->  ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) ) ) )
1227, 9rngcl 16648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  q  e.  ( Base `  F
)  /\  r  e.  ( Base `  F )
)  ->  ( q
( .r `  F
) r )  e.  ( Base `  F
) )
12398, 101, 102, 122syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .r `  F ) r )  e.  ( Base `  F
) )
124123, 100eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .r `  F ) r )  e.  P )
12558proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
q ( .r `  F ) r )  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s
`  K ) w )  =  ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  L
) w ) )
12666, 124, 68, 125syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .r
`  F ) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .r `  F
) r ) ( .s `  L ) w ) )
12746proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  P  /\  r  e.  P ) )  -> 
( q ( .r
`  F ) r )  =  ( q ( .r `  G
) r ) )
128127ad2ant2r 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .r `  F ) r )  =  ( q ( .r `  G ) r ) )
129128oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .r
`  F ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .r `  G
) r ) ( .s `  L ) w ) )
130126, 129eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .r
`  F ) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .r `  G
) r ) ( .s `  L ) w ) )
13158proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  P  /\  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( q ( .s `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )
13266, 99, 88, 131syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  K ) w ) ) )
13370oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  L ) ( r ( .s `  K
) w ) )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) ) )
134132, 133eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) ) )
135130, 134eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s
`  K ) w )  =  ( q ( .s `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  <->  ( (
q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) ) ) )
1367, 10rngidcl 16655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  ( Base `  F
) )
13798, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )
138137, 100eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  ( 1r `  F )  e.  P )
13958proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( 1r `  F )  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( 1r `  F ) ( .s
`  K ) w )  =  ( ( 1r `  F ) ( .s `  L
) w ) )
14066, 138, 68, 139syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( 1r `  F
) ( .s `  K ) w )  =  ( ( 1r
`  F ) ( .s `  L ) w ) )
14116, 44, 46rngidpropd 16777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  =  ( 1r
`  G ) )
142141ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  ( 1r `  F )  =  ( 1r `  G
) )
143142oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( 1r `  F
) ( .s `  L ) w )  =  ( ( 1r
`  G ) ( .s `  L ) w ) )
144140, 143eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( 1r `  F
) ( .s `  K ) w )  =  ( ( 1r
`  G ) ( .s `  L ) w ) )
145144eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( 1r `  F ) ( .s
`  K ) w )  =  w  <->  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L ) w )  =  w ) )
146135, 145anbi12d 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( ( q ( .r `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( q ( .s `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) )  /\  ( ( 1r
`  F ) ( .s `  K ) w )  =  w )  <->  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) )
147121, 146anbi12d 705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
148147anassrs 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  (
x ( .s `  K ) y )  e.  B ) )  /\  ( q  e.  P  /\  r  e.  P ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
1491482ralbidva 2753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( q  e.  P  /\  r  e.  P
) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
1501492ralbidva 2753 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. q  e.  P  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  P  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
15116adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  P  =  ( Base `  F
) )
15220adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
153152eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w )  e.  B  <->  ( r
( .s `  K
) w )  e.  ( Base `  K
) ) )
1541533anbi1d 1288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( ( r ( .s `  K ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )  <->  ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) ) ) )
155154anbi1d 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  K ) w )  e.  ( Base `  K )  /\  (
r ( .s `  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  F ) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( q ( .s `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  /\  (
( 1r `  F
) ( .s `  K ) w )  =  w ) ) ) )
156152, 155raleqbidv 2929 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
157152, 156raleqbidv 2929 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
158151, 157raleqbidv 2929 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. r  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
159151, 158raleqbidv 2929 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. q  e.  P  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  ( Base `  F
) A. r  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
16044adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  P  =  ( Base `  G
) )
16130adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
162161eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  <->  ( r
( .s `  L
) w )  e.  ( Base `  L
) ) )
1631623anbi1d 1288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( ( r ( .s `  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  <->  ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) ) ) )
164163anbi1d 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  ( Base `  L )  /\  (
r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
165161, 164raleqbidv 2929 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
166161, 165raleqbidv 2929 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
167160, 166raleqbidv 2929 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  A. r  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
168160, 167raleqbidv 2929 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. q  e.  P  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  ( Base `  G
) A. r  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
169150, 159, 1683bitr3d 283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. q  e.  ( Base `  F ) A. r  e.  ( Base `  F ) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  ( Base `  G
) A. r  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
17064, 65, 1693anbi123d 1284 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  ( Base `  F ) A. r  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) )  <-> 
( L  e.  Grp  /\  G  e.  Ring  /\  A. q  e.  ( Base `  G ) A. r  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) ) )
171170, 11, 423bitr4g 288 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
172171ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  B )  ->  ( K  e. 
LMod 
<->  L  e.  LMod )
) )
17328, 63, 172pm5.21ndd 354 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   Grpcgrp 15406   1rcur 16593   Ringcrg 16635   LModclmod 16928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930
This theorem is referenced by:  lmodpropd  16988  lvecprop2d  17225
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