Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodprop2d Structured version   Unicode version

Theorem lmodprop2d 17125
 Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. This version of lmodpropd 17126 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodprop2d.b1
lmodprop2d.b2
lmodprop2d.f Scalar
lmodprop2d.g Scalar
lmodprop2d.p1
lmodprop2d.p2
lmodprop2d.1
lmodprop2d.2
lmodprop2d.3
lmodprop2d.4
Assertion
Ref Expression
lmodprop2d
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem lmodprop2d
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17073 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 eqid 2452 . . . . . 6
4 eqid 2452 . . . . . 6
5 eqid 2452 . . . . . 6
6 lmodprop2d.f . . . . . 6 Scalar
7 eqid 2452 . . . . . 6
8 eqid 2452 . . . . . 6
9 eqid 2452 . . . . . 6
10 eqid 2452 . . . . . 6
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10islmod 17070 . . . . 5
1211simp2bi 1004 . . . 4
1312a1i 11 . . 3
14 simplr 754 . . . . . . 7
15 simprl 755 . . . . . . . 8
16 lmodprop2d.p1 . . . . . . . . 9
1716ad2antrr 725 . . . . . . . 8
1815, 17eleqtrd 2542 . . . . . . 7
19 simprr 756 . . . . . . . 8
20 lmodprop2d.b1 . . . . . . . . 9
2120ad2antrr 725 . . . . . . . 8
2219, 21eleqtrd 2542 . . . . . . 7
233, 6, 5, 7lmodvscl 17083 . . . . . . 7
2414, 18, 22, 23syl3anc 1219 . . . . . 6
2524, 21eleqtrrd 2543 . . . . 5
2625ralrimivva 2908 . . . 4
2726ex 434 . . 3
282, 13, 273jcad 1169 . 2
29 lmodgrp 17073 . . . 4
30 lmodprop2d.b2 . . . . 5
31 lmodprop2d.1 . . . . 5
3220, 30, 31grppropd 15670 . . . 4
3329, 32syl5ibr 221 . . 3
34 eqid 2452 . . . . . 6
35 eqid 2452 . . . . . 6
36 eqid 2452 . . . . . 6
37 lmodprop2d.g . . . . . 6 Scalar
38 eqid 2452 . . . . . 6
39 eqid 2452 . . . . . 6
40 eqid 2452 . . . . . 6
41 eqid 2452 . . . . . 6
4234, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41islmod 17070 . . . . 5
4342simp2bi 1004 . . . 4
44 lmodprop2d.p2 . . . . 5
45 lmodprop2d.2 . . . . 5
46 lmodprop2d.3 . . . . 5
4716, 44, 45, 46rngpropd 16794 . . . 4
4843, 47syl5ibr 221 . . 3
49 simplr 754 . . . . . . 7
50 simprl 755 . . . . . . . 8
5144ad2antrr 725 . . . . . . . 8
5250, 51eleqtrd 2542 . . . . . . 7
53 simprr 756 . . . . . . . 8
5430ad2antrr 725 . . . . . . . 8
5553, 54eleqtrd 2542 . . . . . . 7
5634, 37, 36, 38lmodvscl 17083 . . . . . . 7
5749, 52, 55, 56syl3anc 1219 . . . . . 6
58 lmodprop2d.4 . . . . . . 7
5958adantlr 714 . . . . . 6
6057, 59, 543eltr4d 2555 . . . . 5
6160ralrimivva 2908 . . . 4
6261ex 434 . . 3
6333, 48, 623jcad 1169 . 2
6432adantr 465 . . . . 5
6547adantr 465 . . . . 5
66 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13
67 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13
68 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . 13
6958proplem 14742 . . . . . . . . . . . . 13
7066, 67, 68, 69syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . 12
7170eleq1d 2521 . . . . . . . . . . 11
72 simplr1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7320ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7468, 73eleqtrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7675, 73eleqtrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16
773, 4grpcl 15665 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7872, 74, 76, 77syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15
7978, 73eleqtrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . 14
8058proplem 14742 . . . . . . . . . . . . . 14
8166, 67, 79, 80syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13
8231proplem 14742 . . . . . . . . . . . . . . 15
8366, 68, 75, 82syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . . 14
8483oveq2d 6211 . . . . . . . . . . . . 13
8581, 84eqtrd 2493 . . . . . . . . . . . 12
86 simplr3 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15
87 proplem2 14741 . . . . . . . . . . . . . . 15
8867, 68, 86, 87syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14
89 proplem2 14741 . . . . . . . . . . . . . . 15
9067, 75, 86, 89syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14
9131proplem 14742 . . . . . . . . . . . . . 14
9266, 88, 90, 91syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13
9358proplem 14742 . . . . . . . . . . . . . . 15
9466, 67, 75, 93syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . . 14
9570, 94oveq12d 6213 . . . . . . . . . . . . 13
9692, 95eqtrd 2493 . . . . . . . . . . . 12
9785, 96eqeq12d 2474 . . . . . . . . . . 11
98 simplr2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . 16
99 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10016ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10199, 100eleqtrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10267, 100eleqtrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1037, 8rngacl 16790 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10498, 101, 102, 103syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15
105104, 100eleqtrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . 14
10658proplem 14742 . . . . . . . . . . . . . 14
10766, 105, 68, 106syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13
10845proplem 14742 . . . . . . . . . . . . . . 15
109108ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14
110109oveq1d 6210 . . . . . . . . . . . . 13
111107, 110eqtrd 2493 . . . . . . . . . . . 12
112 proplem2 14741 . . . . . . . . . . . . . . 15
11399, 68, 86, 112syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14
11431proplem 14742 . . . . . . . . . . . . . 14
11566, 113, 88, 114syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13
11658proplem 14742 . . . . . . . . . . . . . . 15
11766, 99, 68, 116syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . . 14
118117, 70oveq12d 6213 . . . . . . . . . . . . 13
119115, 118eqtrd 2493 . . . . . . . . . . . 12
120111, 119eqeq12d 2474 . . . . . . . . . . 11
12171, 97, 1203anbi123d 1290 . . . . . . . . . 10
1227, 9rngcl 16776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12398, 101, 102, 122syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15
124123, 100eleqtrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . 14
12558proplem 14742 . . . . . . . . . . . . . 14
12666, 124, 68, 125syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13
12746proplem 14742 . . . . . . . . . . . . . . 15
128127ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14
129128oveq1d 6210 . . . . . . . . . . . . 13
130126, 129eqtrd 2493 . . . . . . . . . . . 12
13158proplem 14742 . . . . . . . . . . . . . 14
13266, 99, 88, 131syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13
13370oveq2d 6211 . . . . . . . . . . . . 13
134132, 133eqtrd 2493 . . . . . . . . . . . 12
135130, 134eqeq12d 2474 . . . . . . . . . . 11
1367, 10rngidcl 16783 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13798, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
138137, 100eleqtrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . 14
13958proplem 14742 . . . . . . . . . . . . . 14
14066, 138, 68, 139syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13
14116, 44, 46rngidpropd 16905 . . . . . . . . . . . . . . 15
142141ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
143142oveq1d 6210 . . . . . . . . . . . . 13
144140, 143eqtrd 2493 . . . . . . . . . . . 12
145144eqeq1d 2454 . . . . . . . . . . 11
146135, 145anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
147121, 146anbi12d 710 . . . . . . . . 9
148147anassrs 648 . . . . . . . 8
1491482ralbidva 2847 . . . . . . 7
1501492ralbidva 2847 . . . . . 6
15116adantr 465 . . . . . . 7
15220adantr 465 . . . . . . . . 9
153152eleq2d 2522 . . . . . . . . . . . 12
1541533anbi1d 1294 . . . . . . . . . . 11
155154anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
156152, 155raleqbidv 3031 . . . . . . . . 9
157152, 156raleqbidv 3031 . . . . . . . 8
158151, 157raleqbidv 3031 . . . . . . 7
159151, 158raleqbidv 3031 . . . . . 6
16044adantr 465 . . . . . . 7
16130adantr 465 . . . . . . . . 9
162161eleq2d 2522 . . . . . . . . . . . 12
1631623anbi1d 1294 . . . . . . . . . . 11
164163anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
165161, 164raleqbidv 3031 . . . . . . . . 9
166161, 165raleqbidv 3031 . . . . . . . 8
167160, 166raleqbidv 3031 . . . . . . 7
168160, 167raleqbidv 3031 . . . . . 6
169150, 159, 1683bitr3d 283 . . . . 5
17064, 65, 1693anbi123d 1290 . . . 4
171170, 11, 423bitr4g 288 . . 3
172171ex 434 . 2
17328, 63, 172pm5.21ndd 354 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wral 2796  cfv 5521  (class class class)co 6195  cbs 14287   cplusg 14352  cmulr 14353  Scalarcsca 14355  cvsca 14356  cgrp 15524  cur 16720  crg 16763  clmod 17066 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-plusg 14365  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-lmod 17068 This theorem is referenced by:  lmodpropd  17126  lvecprop2d  17365
 Copyright terms: Public domain W3C validator