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Theorem lmodprop2d 17446
Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. This version of lmodpropd 17447 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodprop2d.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
lmodprop2d.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
lmodprop2d.f  |-  F  =  (Scalar `  K )
lmodprop2d.g  |-  G  =  (Scalar `  L )
lmodprop2d.p1  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
lmodprop2d.p2  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
lmodprop2d.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
lmodprop2d.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
lmodprop2d.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  =  ( x ( .r `  G
) y ) )
lmodprop2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
lmodprop2d  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    ph, x, y    x, G, y    x, K, y    x, L, y   
x, P, y

Proof of Theorem lmodprop2d
Dummy variables  r 
q  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17393 . . . 4  |-  ( K  e.  LMod  ->  K  e. 
Grp )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  ->  K  e.  Grp )
)
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
5 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .s
`  K )  =  ( .s `  K
)
6 lmodprop2d.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  K )
7 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
9 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
10 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10islmod 17390 . . . . 5  |-  ( K  e.  LMod  <->  ( K  e. 
Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  (
Base `  F ) A. r  e.  ( Base `  F ) A. z  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
1211simp2bi 1013 . . . 4  |-  ( K  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  ->  F  e.  Ring ) )
14 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  K  e.  LMod )
15 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  P )
16 lmodprop2d.p1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  P  =  ( Base `  F )
)
1815, 17eleqtrd 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ( Base `  F )
)
19 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
20 lmodprop2d.b1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2120ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  B  =  ( Base `  K )
)
2219, 21eleqtrd 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
233, 6, 5, 7lmodvscl 17403 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  e.  ( Base `  K
) )
2414, 18, 22, 23syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  e.  ( Base `  K
) )
2524, 21eleqtrrd 2534 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
2625ralrimivva 2864 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  LMod )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
2726ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  B ) )
282, 13, 273jcad 1178 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  -> 
( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  (
x ( .s `  K ) y )  e.  B ) ) )
29 lmodgrp 17393 . . . 4  |-  ( L  e.  LMod  ->  L  e. 
Grp )
30 lmodprop2d.b2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
31 lmodprop2d.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
3220, 30, 31grppropd 15942 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Grp  <->  L  e.  Grp ) )
3329, 32syl5ibr 221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  LMod  ->  K  e.  Grp )
)
34 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
35 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
36 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
37 lmodprop2d.g . . . . . 6  |-  G  =  (Scalar `  L )
38 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
39 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
40 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .r
`  G )  =  ( .r `  G
)
41 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  G )  =  ( 1r `  G
)
4234, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41islmod 17390 . . . . 5  |-  ( L  e.  LMod  <->  ( L  e. 
Grp  /\  G  e.  Ring  /\  A. q  e.  (
Base `  G ) A. r  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
4342simp2bi 1013 . . . 4  |-  ( L  e.  LMod  ->  G  e. 
Ring )
44 lmodprop2d.p2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
45 lmodprop2d.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
46 lmodprop2d.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  =  ( x ( .r `  G
) y ) )
4716, 44, 45, 46ringpropd 17104 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  Ring  <->  G  e.  Ring ) )
4843, 47syl5ibr 221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  LMod  ->  F  e.  Ring ) )
49 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  L  e.  LMod )
50 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  P )
5144ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  P  =  ( Base `  G )
)
5250, 51eleqtrd 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
53 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
5430ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  B  =  ( Base `  L )
)
5553, 54eleqtrd 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  L )
)
5634, 37, 36, 38lmodvscl 17403 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  L )
)  ->  ( x
( .s `  L
) y )  e.  ( Base `  L
) )
5749, 52, 55, 56syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  L
) y )  e.  ( Base `  L
) )
58 lmodprop2d.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
5958adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  =  ( x ( .s
`  L ) y ) )
6057, 59, 543eltr4d 2546 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
6160ralrimivva 2864 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  e.  LMod )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
6261ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  LMod  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  B ) )
6333, 48, 623jcad 1178 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  e.  LMod  -> 
( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  (
x ( .s `  K ) y )  e.  B ) ) )
6432adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( K  e.  Grp  <->  L  e.  Grp ) )
6547adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( F  e.  Ring  <->  G  e.  Ring ) )
66 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  ph )
67 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  r  e.  P )
68 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  w  e.  B )
6958oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  L
) w ) )
7066, 67, 68, 69syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) w )  =  ( r ( .s `  L ) w ) )
7170eleq1d 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w )  e.  B  <->  ( r
( .s `  L
) w )  e.  B ) )
72 simplr1 1039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  K  e.  Grp )
7320ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
7468, 73eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  w  e.  ( Base `  K
) )
75 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  z  e.  B )
7675, 73eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  z  e.  ( Base `  K
) )
773, 4grpcl 15937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Grp  /\  w  e.  ( Base `  K )  /\  z  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  e.  ( Base `  K
) )
7872, 74, 76, 77syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  e.  ( Base `  K
) )
7978, 73eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  e.  B )
8058oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  (
w ( +g  `  K
) z )  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  K ) z ) ) )
8166, 67, 79, 80syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  K ) z ) ) )
8231oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  L ) z ) )
8366, 68, 75, 82syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  =  ( w ( +g  `  L ) z ) )
8483oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  L ) z ) ) )
8581, 84eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  L ) z ) ) )
86 simplr3 1041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
87 ovrspc2v 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  P  /\  w  e.  B
)  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )  ->  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B )
8867, 68, 86, 87syl21anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B )
89 ovrspc2v 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  P  /\  z  e.  B
)  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )  ->  (
r ( .s `  K ) z )  e.  B )
9067, 75, 86, 89syl21anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) z )  e.  B )
9131oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
r ( .s `  K ) w )  e.  B  /\  (
r ( .s `  K ) z )  e.  B ) )  ->  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  K ) z ) ) )
9266, 88, 90, 91syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  K
) z ) ) )
9358oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  z  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  =  ( r ( .s `  L
) z ) )
9466, 67, 75, 93syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) z )  =  ( r ( .s `  L ) z ) )
9570, 94oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) ) )
9692, 95eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) ) )
9785, 96eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  <->  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) ) ) )
98 simplr2 1040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  F  e.  Ring )
99 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  q  e.  P )
10016ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  P  =  ( Base `  F
) )
10199, 100eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  q  e.  ( Base `  F
) )
10267, 100eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  r  e.  ( Base `  F
) )
1037, 8ringacl 17100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  q  e.  ( Base `  F
)  /\  r  e.  ( Base `  F )
)  ->  ( q
( +g  `  F ) r )  e.  (
Base `  F )
)
10498, 101, 102, 103syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( +g  `  F
) r )  e.  ( Base `  F
) )
105104, 100eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( +g  `  F
) r )  e.  P )
10658oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
q ( +g  `  F
) r )  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( q ( +g  `  F ) r ) ( .s
`  K ) w )  =  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  L ) w ) )
10766, 105, 68, 106syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( +g  `  F ) r ) ( .s
`  L ) w ) )
10845oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  P  /\  r  e.  P ) )  -> 
( q ( +g  `  F ) r )  =  ( q ( +g  `  G ) r ) )
109108ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( +g  `  F
) r )  =  ( q ( +g  `  G ) r ) )
110109oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( +g  `  G ) r ) ( .s
`  L ) w ) )
111107, 110eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( +g  `  G ) r ) ( .s
`  L ) w ) )
112 ovrspc2v 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( q  e.  P  /\  w  e.  B
)  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )  ->  (
q ( .s `  K ) w )  e.  B )
11399, 68, 86, 112syl21anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  K ) w )  e.  B )
11431oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
q ( .s `  K ) w )  e.  B  /\  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( ( q ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )
11566, 113, 88, 114syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )
11658oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( q ( .s
`  K ) w )  =  ( q ( .s `  L
) w ) )
11766, 99, 68, 116syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  K ) w )  =  ( q ( .s `  L ) w ) )
118117, 70oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )
119115, 118eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )
120111, 119eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( q ( +g  `  F ) r ) ( .s
`  K ) w )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  <->  ( (
q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) ) )
12171, 97, 1203anbi123d 1300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( r ( .s `  K ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )  <->  ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) ) ) )
1227, 9ringcl 17086 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  q  e.  ( Base `  F
)  /\  r  e.  ( Base `  F )
)  ->  ( q
( .r `  F
) r )  e.  ( Base `  F
) )
12398, 101, 102, 122syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .r `  F ) r )  e.  ( Base `  F
) )
124123, 100eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .r `  F ) r )  e.  P )
12558oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
q ( .r `  F ) r )  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s
`  K ) w )  =  ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  L
) w ) )
12666, 124, 68, 125syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .r
`  F ) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .r `  F
) r ) ( .s `  L ) w ) )
12746oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  P  /\  r  e.  P ) )  -> 
( q ( .r
`  F ) r )  =  ( q ( .r `  G
) r ) )
128127ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .r `  F ) r )  =  ( q ( .r `  G ) r ) )
129128oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .r
`  F ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .r `  G
) r ) ( .s `  L ) w ) )
130126, 129eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .r
`  F ) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .r `  G
) r ) ( .s `  L ) w ) )
13158oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  P  /\  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( q ( .s `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )
13266, 99, 88, 131syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  K ) w ) ) )
13370oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  L ) ( r ( .s `  K
) w ) )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) ) )
134132, 133eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) ) )
135130, 134eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s
`  K ) w )  =  ( q ( .s `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  <->  ( (
q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) ) ) )
1367, 10ringidcl 17093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  ( Base `  F
) )
13798, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )
138137, 100eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  ( 1r `  F )  e.  P )
13958oveqrspc2v 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( 1r `  F )  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( 1r `  F ) ( .s
`  K ) w )  =  ( ( 1r `  F ) ( .s `  L
) w ) )
14066, 138, 68, 139syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( 1r `  F
) ( .s `  K ) w )  =  ( ( 1r
`  F ) ( .s `  L ) w ) )
14116, 44, 46rngidpropd 17218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  =  ( 1r
`  G ) )
142141ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  ( 1r `  F )  =  ( 1r `  G
) )
143142oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( 1r `  F
) ( .s `  L ) w )  =  ( ( 1r
`  G ) ( .s `  L ) w ) )
144140, 143eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( 1r `  F
) ( .s `  K ) w )  =  ( ( 1r
`  G ) ( .s `  L ) w ) )
145144eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( 1r `  F ) ( .s
`  K ) w )  =  w  <->  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L ) w )  =  w ) )
146135, 145anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( ( q ( .r `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( q ( .s `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) )  /\  ( ( 1r
`  F ) ( .s `  K ) w )  =  w )  <->  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) )
147121, 146anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
148147anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  (
x ( .s `  K ) y )  e.  B ) )  /\  ( q  e.  P  /\  r  e.  P ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
1491482ralbidva 2885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( q  e.  P  /\  r  e.  P
) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
1501492ralbidva 2885 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. q  e.  P  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  P  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
15116adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  P  =  ( Base `  F
) )
15220adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
153152eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w )  e.  B  <->  ( r
( .s `  K
) w )  e.  ( Base `  K
) ) )
1541533anbi1d 1304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( ( r ( .s `  K ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )  <->  ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) ) ) )
155154anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  K ) w )  e.  ( Base `  K )  /\  (
r ( .s `  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  F ) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( q ( .s `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  /\  (
( 1r `  F
) ( .s `  K ) w )  =  w ) ) ) )
156152, 155raleqbidv 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
157152, 156raleqbidv 3054 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
158151, 157raleqbidv 3054 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. r  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
159151, 158raleqbidv 3054 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. q  e.  P  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  ( Base `  F
) A. r  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
16044adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  P  =  ( Base `  G
) )
16130adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
162161eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  <->  ( r
( .s `  L
) w )  e.  ( Base `  L
) ) )
1631623anbi1d 1304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( ( r ( .s `  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  <->  ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) ) ) )
164163anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  ( Base `  L )  /\  (
r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
165161, 164raleqbidv 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
166161, 165raleqbidv 3054 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
167160, 166raleqbidv 3054 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  A. r  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
168160, 167raleqbidv 3054 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. q  e.  P  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  ( Base `  G
) A. r  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
169150, 159, 1683bitr3d 283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. q  e.  ( Base `  F ) A. r  e.  ( Base `  F ) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  ( Base `  G
) A. r  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
17064, 65, 1693anbi123d 1300 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  ( Base `  F ) A. r  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) )  <-> 
( L  e.  Grp  /\  G  e.  Ring  /\  A. q  e.  ( Base `  G ) A. r  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) ) )
171170, 11, 423bitr4g 288 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
172171ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  B )  ->  ( K  e. 
LMod 
<->  L  e.  LMod )
) )
17328, 63, 172pm5.21ndd 354 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   .rcmulr 14575  Scalarcsca 14577   .scvsca 14578   Grpcgrp 15927   1rcur 17027   Ringcrg 17072   LModclmod 17386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-lmod 17388
This theorem is referenced by:  lmodpropd  17447  lvecprop2d  17686
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