Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodn0 Structured version   Unicode version

Theorem lmodn0 38587
Description: Left modules exist. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
lmodn0  |-  LMod  =/=  (/)

Proof of Theorem lmodn0
StepHypRef Expression
1 vex 3061 . . 3  |-  i  e. 
_V
2 vex 3061 . . 3  |-  z  e. 
_V
31, 2pm3.2i 453 . 2  |-  ( i  e.  _V  /\  z  e.  _V )
4 eqid 2402 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. }  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. }
5 eqid 2402 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i
>. ,  i >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i >. ,  i
>. } >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  { <. ( Base `  ndx ) ,  { z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )
64, 5lmod1zr 38585 . 2  |-  ( ( i  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i >. ,  i
>. } >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  { <. ( Base `  ndx ) ,  { z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e. 
LMod )
7 ne0i 3743 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i
>. ,  i >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e. 
LMod  ->  LMod  =/=  (/) )
83, 6, 7mp2b 10 1  |-  LMod  =/=  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    e. wcel 1842    =/= wne 2598   _Vcvv 3058    u. cun 3411   (/)c0 3737   {csn 3971   {ctp 3975   <.cop 3977   ` cfv 5525   ndxcnx 14730   Basecbs 14733   +g cplusg 14801   .rcmulr 14802  Scalarcsca 14804   .scvsca 14805   LModclmod 17724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-lmod 17726
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator