MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodlema Structured version   Unicode version

Theorem lmodlema 16953
Description: Lemma for properties of a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islmod.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islmod.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
islmod.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islmod.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islmod.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
islmod.p  |-  .+^  =  ( +g  `  F )
islmod.t  |-  .X.  =  ( .r `  F )
islmod.u  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
Assertion
Ref Expression
lmodlema  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( Q  e.  K  /\  R  e.  K )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( ( R  .x.  Y )  e.  V  /\  ( R  .x.  ( Y  .+  X ) )  =  ( ( R 
.x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) )  /\  (  .1.  .x.  Y )  =  Y ) ) )

Proof of Theorem lmodlema
Dummy variables  q 
r  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islmod.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 islmod.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 islmod.s . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
4 islmod.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
5 islmod.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
6 islmod.p . . . . . 6  |-  .+^  =  ( +g  `  F )
7 islmod.t . . . . . 6  |-  .X.  =  ( .r `  F )
8 islmod.u . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8islmod 16952 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  <->  ( W  e. 
Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
109simp3bi 1005 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) )
11 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  Q  ->  (
q  .+^  r )  =  ( Q  .+^  r ) )
1211oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  (
( q  .+^  r ) 
.x.  w )  =  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w
) )
13 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  Q  ->  (
q  .x.  w )  =  ( Q  .x.  w ) )
1413oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  (
( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) )  =  ( ( Q  .x.  w )  .+  (
r  .x.  w )
) )
1512, 14eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) )  <->  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) ) )
16153anbi3d 1295 . . . . . . 7  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( r  .x.  w )  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  <-> 
( ( r  .x.  w )  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( Q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) ) ) )
17 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  Q  ->  (
q  .X.  r )  =  ( Q  .X.  r ) )
1817oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  (
( q  .X.  r
)  .x.  w )  =  ( ( Q 
.X.  r )  .x.  w ) )
19 oveq1 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  (
q  .x.  ( r  .x.  w ) )  =  ( Q  .x.  (
r  .x.  w )
) )
2018, 19eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( q  .X.  r )  .x.  w
)  =  ( q 
.x.  ( r  .x.  w ) )  <->  ( ( Q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) ) ) )
2120anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( ( q 
.X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w )  <->  ( ( ( Q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) )
2216, 21anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) )  <->  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( Q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
23222ralbidv 2757 . . . . 5  |-  ( q  =  Q  ->  ( A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) )  <->  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( Q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
24 oveq1 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
r  .x.  w )  =  ( R  .x.  w ) )
2524eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  .x.  w
)  e.  V  <->  ( R  .x.  w )  e.  V
) )
26 oveq1 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
r  .x.  ( w  .+  x ) )  =  ( R  .x.  (
w  .+  x )
) )
27 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
r  .x.  x )  =  ( R  .x.  x ) )
2824, 27oveq12d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  x ) )  =  ( ( R  .x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) ) )
2926, 28eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  <->  ( R  .x.  ( w  .+  x
) )  =  ( ( R  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  x ) ) ) )
30 oveq2 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  ( Q  .+^  r )  =  ( Q  .+^  R ) )
3130oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( Q  .+^  r ) 
.x.  w )  =  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w ) )
3224oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( Q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) )  =  ( ( Q  .x.  w )  .+  ( R  .x.  w ) ) )
3331, 32eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( Q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( Q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) )  <->  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) ) )
3425, 29, 333anbi123d 1289 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( r  .x.  w )  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( Q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  <-> 
( ( R  .x.  w )  e.  V  /\  ( R  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( R  .x.  w ) 
.+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  w ) ) ) ) )
35 oveq2 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  ( Q  .X.  r )  =  ( Q  .X.  R
) )
3635oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( Q  .X.  r
)  .x.  w )  =  ( ( Q 
.X.  R )  .x.  w ) )
3724oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( Q  .x.  ( r  .x.  w ) )  =  ( Q  .x.  ( R  .x.  w ) ) )
3836, 37eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( Q  .X.  r )  .x.  w
)  =  ( Q 
.x.  ( r  .x.  w ) )  <->  ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) ) ) )
3938anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( Q 
.X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w )  <->  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) )
4034, 39anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) )  <->  ( (
( R  .x.  w
)  e.  V  /\  ( R  .x.  ( w 
.+  x ) )  =  ( ( R 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
41402ralbidv 2757 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) )  <->  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( R  .x.  w
)  e.  V  /\  ( R  .x.  ( w 
.+  x ) )  =  ( ( R 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
4223, 41rspc2v 3079 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  K  /\  R  e.  K )  ->  ( A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r  .x.  w )  e.  V  /\  (
r  .x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) )  ->  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( R  .x.  w
)  e.  V  /\  ( R  .x.  ( w 
.+  x ) )  =  ( ( R 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
4310, 42mpan9 469 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( Q  e.  K  /\  R  e.  K )
)  ->  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( R  .x.  w
)  e.  V  /\  ( R  .x.  ( w 
.+  x ) )  =  ( ( R 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) )
44 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
w  .+  x )  =  ( w  .+  X ) )
4544oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( R  .x.  ( w  .+  x ) )  =  ( R  .x.  (
w  .+  X )
) )
46 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( R  .x.  x )  =  ( R  .x.  X
) )
4746oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( R  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  x ) )  =  ( ( R  .x.  w )  .+  ( R  .x.  X ) ) )
4845, 47eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( R  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( R  .x.  w ) 
.+  ( R  .x.  x ) )  <->  ( R  .x.  ( w  .+  X
) )  =  ( ( R  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  X ) ) ) )
49483anbi2d 1294 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( R  .x.  w )  e.  V  /\  ( R  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( R  .x.  w ) 
.+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  w ) ) )  <->  ( ( R  .x.  w )  e.  V  /\  ( R 
.x.  ( w  .+  X ) )  =  ( ( R  .x.  w )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) ) ) )
5049anbi1d 704 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( R 
.x.  w )  e.  V  /\  ( R 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( R  .x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) )  <->  ( (
( R  .x.  w
)  e.  V  /\  ( R  .x.  ( w 
.+  X ) )  =  ( ( R 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
51 oveq2 6099 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  ( R  .x.  w )  =  ( R  .x.  Y
) )
5251eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( w  =  Y  ->  (
( R  .x.  w
)  e.  V  <->  ( R  .x.  Y )  e.  V
) )
53 oveq1 6098 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  Y  ->  (
w  .+  X )  =  ( Y  .+  X ) )
5453oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  ( R  .x.  ( w  .+  X ) )  =  ( R  .x.  ( Y  .+  X ) ) )
5551oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  (
( R  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  X ) )  =  ( ( R  .x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) ) )
5654, 55eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( w  =  Y  ->  (
( R  .x.  (
w  .+  X )
)  =  ( ( R  .x.  w ) 
.+  ( R  .x.  X ) )  <->  ( R  .x.  ( Y  .+  X
) )  =  ( ( R  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  X ) ) ) )
57 oveq2 6099 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  (
( Q  .+^  R ) 
.x.  w )  =  ( ( Q  .+^  R )  .x.  Y ) )
58 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  Y  ->  ( Q  .x.  w )  =  ( Q  .x.  Y
) )
5958, 51oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  (
( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) )  =  ( ( Q  .x.  Y )  .+  ( R  .x.  Y ) ) )
6057, 59eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  w ) )  <->  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) ) )
6152, 56, 603anbi123d 1289 . . . . 5  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ( R  .x.  w )  e.  V  /\  ( R  .x.  (
w  .+  X )
)  =  ( ( R  .x.  w ) 
.+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  w ) ) )  <->  ( ( R  .x.  Y )  e.  V  /\  ( R 
.x.  ( Y  .+  X ) )  =  ( ( R  .x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) ) ) )
62 oveq2 6099 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  (
( Q  .X.  R
)  .x.  w )  =  ( ( Q 
.X.  R )  .x.  Y ) )
6351oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  ( Q  .x.  ( R  .x.  w ) )  =  ( Q  .x.  ( R  .x.  Y ) ) )
6462, 63eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ( Q  .X.  R )  .x.  w
)  =  ( Q 
.x.  ( R  .x.  w ) )  <->  ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) ) ) )
65 oveq2 6099 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  (  .1.  .x.  w )  =  (  .1.  .x.  Y
) )
66 id 22 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  w  =  Y )
6765, 66eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( w  =  Y  ->  (
(  .1.  .x.  w
)  =  w  <->  (  .1.  .x. 
Y )  =  Y ) )
6864, 67anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ( ( Q 
.X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w )  <->  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) )  /\  (  .1.  .x.  Y )  =  Y ) ) )
6961, 68anbi12d 710 . . . 4  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ( ( R 
.x.  w )  e.  V  /\  ( R 
.x.  ( w  .+  X ) )  =  ( ( R  .x.  w )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) )  <->  ( (
( R  .x.  Y
)  e.  V  /\  ( R  .x.  ( Y 
.+  X ) )  =  ( ( R 
.x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) )  /\  (  .1.  .x.  Y )  =  Y ) ) ) )
7050, 69rspc2v 3079 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( R  .x.  w )  e.  V  /\  ( R  .x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( R  .x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) )  ->  (
( ( R  .x.  Y )  e.  V  /\  ( R  .x.  ( Y  .+  X ) )  =  ( ( R 
.x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) )  /\  (  .1.  .x.  Y )  =  Y ) ) ) )
7143, 70syl5com 30 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( Q  e.  K  /\  R  e.  K )
)  ->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( ( R 
.x.  Y )  e.  V  /\  ( R 
.x.  ( Y  .+  X ) )  =  ( ( R  .x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) )  /\  (  .1.  .x.  Y )  =  Y ) ) ) )
72713impia 1184 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( Q  e.  K  /\  R  e.  K )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( ( R  .x.  Y )  e.  V  /\  ( R  .x.  ( Y  .+  X ) )  =  ( ( R 
.x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) )  /\  (  .1.  .x.  Y )  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   Grpcgrp 15410   1rcur 16603   Ringcrg 16645   LModclmod 16948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4421
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-iota 5381  df-fv 5426  df-ov 6094  df-lmod 16950
This theorem is referenced by:  lmodvscl  16965  lmodvsdi  16971  lmodvsdir  16972  lmodvsass  16973  lmodvs1  16976
  Copyright terms: Public domain W3C validator