MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodlcan Structured version   Unicode version

Theorem lmodlcan 17088
Description: Left cancellation law for vector sum. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvacl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvacl.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodlcan  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y
)  <->  X  =  Y
) )

Proof of Theorem lmodlcan
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17079 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvacl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvacl.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
42, 3grplcan 15710 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  Y ) )
51, 4sylan 471 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y
)  <->  X  =  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   Grpcgrp 15530   LModclmod 17072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-lmod 17074
This theorem is referenced by:  lmodcom  17115  mapdh6hN  35727  hdmap1l6h  35802  hdmapneg  35833
  Copyright terms: Public domain W3C validator