MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodindp1 Structured version   Unicode version

Theorem lmodindp1 17534
Description: Two independent (non-colinear) vectors have nonzero sum. (Contributed by NM, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lmodindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lmodindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lmodindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lmodindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lmodindp1.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lmodindp1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =/=  .0.  )

Proof of Theorem lmodindp1
StepHypRef Expression
1 lmodindp1.q . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2 lmodindp1.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3 lmodindp1.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
4 lmodindp1.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
6 lmodindp1.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
74, 5, 6lspsnneg 17526 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { (
( invg `  W ) `  X
) } )  =  ( N `  { X } ) )
82, 3, 7syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( invg `  W ) `  X
) } )  =  ( N `  { X } ) )
98eqcomd 2451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( ( invg `  W ) `  X
) } ) )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  =  .0.  )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( ( invg `  W ) `
 X ) } ) )
11 lmodgrp 17393 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
122, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
13 lmodindp1.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 lmodindp1.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  W )
15 lmodindp1.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
164, 14, 15, 5grpinvid1 15972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( ( invg `  W ) `
 X )  =  Y  <->  ( X  .+  Y )  =  .0.  ) )
1712, 3, 13, 16syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  W ) `
 X )  =  Y  <->  ( X  .+  Y )  =  .0.  ) )
1817biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  =  .0.  )  ->  ( ( invg `  W ) `
 X )  =  Y )
1918sneqd 4026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  =  .0.  )  ->  { (
( invg `  W ) `  X
) }  =  { Y } )
2019fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  =  .0.  )  ->  ( N `  { ( ( invg `  W ) `
 X ) } )  =  ( N `
 { Y }
) )
2110, 20eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  =  .0.  )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
2221ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  =  .0. 
->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
2322necon3d 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  ->  ( X  .+  Y )  =/= 
.0.  ) )
241, 23mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   {csn 4014   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   0gc0g 14714   Grpcgrp 15927   invgcminusg 15928   LModclmod 17386   LSpanclspn 17491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-lsp 17492
This theorem is referenced by:  lcfrlem17  37026  mapdh6aN  37202  mapdh6eN  37207  hdmap1l6a  37277  hdmap1l6e  37282  hdmaprnlem3eN  37328
  Copyright terms: Public domain W3C validator