MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodfgrp Structured version   Unicode version

Theorem lmodfgrp 17389
Description: The scalar component of a left module is an additive group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmodring.1  |-  F  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodfgrp  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )

Proof of Theorem lmodfgrp
StepHypRef Expression
1 lmodring.1 . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodring 17388 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
3 ringgrp 17071 . 2  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
42, 3syl 16 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574  Scalarcsca 14572   Grpcgrp 15922   Ringcrg 17066   LModclmod 17380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-nul 4562
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-iota 5537  df-fv 5582  df-ov 6280  df-ring 17068  df-lmod 17382
This theorem is referenced by:  lmodacl  17391  lmodsn0  17393  lmodvneg1  17421  lssvsubcl  17458  lspsnneg  17520  lvecvscan2  17626  lspexch  17643  lspsolvlem  17656  ipsubdir  18544  ipsubdi  18545  ip2eq  18555  ocvlss  18570  lsmcss  18590  islindf4  18740  clmfgrp  21437  lmodvsmdi  32685  ascl0  32687  lincsum  32740  lincsumcl  32742  lincext1  32765  lindslinindsimp1  32768  lindslinindimp2lem1  32769  lindslinindsimp2lem5  32773  ldepsprlem  32783  ldepspr  32784  lincresunit3lem3  32785  lincresunit3lem1  32790  lincresunit3lem2  32791  lincresunit3  32792  lflmul  34495  lkrlss  34522  eqlkr  34526  lkrlsp  34529  lshpkrlem1  34537  ldualvsubval  34584  lcfrlem1  36971  lcdvsubval  37047
  Copyright terms: Public domain W3C validator