MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodfgrp Structured version   Unicode version

Theorem lmodfgrp 17090
Description: The scalar component of a left module is an additive group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmodrng.1  |-  F  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodfgrp  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )

Proof of Theorem lmodfgrp
StepHypRef Expression
1 lmodrng.1 . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodrng 17089 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
3 rnggrp 16783 . 2  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
42, 3syl 16 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  Scalarcsca 14364   Grpcgrp 15533   Ringcrg 16778   LModclmod 17081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-nul 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-iota 5492  df-fv 5537  df-ov 6206  df-rng 16780  df-lmod 17083
This theorem is referenced by:  lmodacl  17092  lmodsn0  17094  lmodvneg1  17121  lssvsubcl  17158  lspsnneg  17220  lvecvscan2  17326  lspexch  17343  lspsolvlem  17356  ipsubdir  18206  ipsubdi  18207  ip2eq  18217  ocvlss  18232  lsmcss  18252  islindf4  18402  clmfgrp  20785  lmodvsmdi  30990  ascl0  30993  lincsum  31118  lincsumcl  31120  lincext1  31143  lindslinindsimp1  31146  lindslinindimp2lem1  31147  lindslinindsimp2lem5  31151  ldepsprlem  31161  ldepspr  31162  lincresunit3lem3  31163  lincresunit3lem1  31168  lincresunit3lem2  31169  lincresunit3  31170  lflmul  33076  lkrlss  33103  eqlkr  33107  lkrlsp  33110  lshpkrlem1  33118  ldualvsubval  33165  lcfrlem1  35550  lcdvsubval  35626
  Copyright terms: Public domain W3C validator