MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodcom Structured version   Unicode version

Theorem lmodcom 17427
Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodcom.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodcom.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodcom  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )

Proof of Theorem lmodcom
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
4 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
52, 3, 4lmod1cl 17410 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
61, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
7 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
82, 3, 7lmodacl 17394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )  -> 
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
91, 6, 6, 8syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
10 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
11 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  V )
12 lmodcom.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
13 lmodcom.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  W )
14 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1512, 13, 2, 14, 3lmodvsdi 17406 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
161, 9, 10, 11, 15syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
1712, 13lmodvacl 17397 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
1812, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 17407 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X  .+  Y )  e.  V ) )  ->  ( ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )
191, 6, 6, 17, 18syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )
2016, 19eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) ( X  .+  Y
) )  .+  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) ( X  .+  Y
) ) ) )
2112, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 17407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) ) )
221, 6, 6, 10, 21syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) ) )
2312, 2, 14, 4lmodvs1 17411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) X )  =  X )
241, 10, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) X )  =  X )
2524, 24oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) X ) )  =  ( X  .+  X ) )
2622, 25eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  =  ( X  .+  X
) )
2712, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 17407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) ) )
281, 6, 6, 11, 27syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) ) )
2912, 2, 14, 4lmodvs1 17411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y )  =  Y )
301, 11, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y )  =  Y )
3130, 30oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y )  .+  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( Y  .+  Y ) )
3228, 31eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  =  ( Y  .+  Y
) )
3326, 32oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
3412, 2, 14, 4lmodvs1 17411 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .+  Y )  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) ( X  .+  Y
) )  =  ( X  .+  Y ) )
351, 17, 34syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) ( X  .+  Y
) )  =  ( X  .+  Y ) )
3635, 35oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  .+  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
3720, 33, 363eqtr3d 2516 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  ( Y  .+  Y ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
3812, 13lmodvacl 17397 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  X )  e.  V )
391, 10, 10, 38syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  X )  e.  V )
4012, 13lmodass 17398 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( X  .+  X
)  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( X  .+  X
)  .+  Y )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  X
)  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
411, 39, 11, 11, 40syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
4212, 13lmodass 17398 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( X  .+  Y
)  e.  V  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( X  .+  Y
)  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  ( X  .+  Y ) ) )
431, 17, 10, 11, 42syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
4437, 41, 433eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .+  Y ) 
.+  X )  .+  Y ) )
45 lmodgrp 17390 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
461, 45syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  Grp )
4712, 13lmodvacl 17397 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .+  X )  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  e.  V )
481, 39, 11, 47syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  e.  V )
4912, 13lmodvacl 17397 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .+  Y )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  e.  V )
501, 17, 10, 49syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  e.  V )
5112, 13grprcan 15955 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( ( X 
.+  X )  .+  Y )  e.  V  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  X
)  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .+  Y ) 
.+  X )  .+  Y )  <->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  X )
) )
5246, 48, 50, 11, 51syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( ( X 
.+  X )  .+  Y )  .+  Y
)  =  ( ( ( X  .+  Y
)  .+  X )  .+  Y )  <->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  X )
) )
5344, 52mpbid 210 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  X ) )
5412, 13lmodass 17398 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  V  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( X  .+  ( X 
.+  Y ) ) )
551, 10, 10, 11, 54syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( X  .+  ( X  .+  Y ) ) )
5612, 13lmodass 17398 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  X )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  X ) ) )
571, 10, 11, 10, 56syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
5853, 55, 573eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
5912, 13lmodvacl 17397 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( Y  .+  X )  e.  V )
60593com23 1202 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .+  X )  e.  V )
6112, 13lmodlcan 17399 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( X  .+  Y
)  e.  V  /\  ( Y  .+  X )  e.  V  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X 
.+  ( Y  .+  X ) )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) ) )
621, 17, 60, 10, 61syl13anc 1230 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) ) )
6358, 62mpbid 210 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   Grpcgrp 15925   1rcur 17025   LModclmod 17383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385
This theorem is referenced by:  lmodabl  17428  lssvsubcl  17461  lssvancl2  17463  lspsolv  17660  lflsub  34265  lcfrlem21  36761  lcfrlem42  36782  mapdindp4  36921
  Copyright terms: Public domain W3C validator