Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodcom Structured version   Unicode version

Theorem lmodcom 17427
 Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodcom.v
lmodcom.a
Assertion
Ref Expression
lmodcom

Proof of Theorem lmodcom
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . . . . . 8
2 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
3 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
4 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
52, 3, 4lmod1cl 17410 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
61, 5syl 16 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
7 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
82, 3, 7lmodacl 17394 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
91, 6, 6, 8syl3anc 1228 . . . . . . . 8 Scalar ScalarScalar Scalar
10 simp2 997 . . . . . . . 8
11 simp3 998 . . . . . . . 8
12 lmodcom.v . . . . . . . . 9
13 lmodcom.a . . . . . . . . 9
14 eqid 2467 . . . . . . . . 9
1512, 13, 2, 14, 3lmodvsdi 17406 . . . . . . . 8 Scalar ScalarScalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar ScalarScalar Scalar ScalarScalar
161, 9, 10, 11, 15syl13anc 1230 . . . . . . 7 Scalar ScalarScalar Scalar ScalarScalar Scalar ScalarScalar
1712, 13lmodvacl 17397 . . . . . . . 8
1812, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 17407 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar Scalar
191, 6, 6, 17, 18syl13anc 1230 . . . . . . 7 Scalar ScalarScalar Scalar Scalar
2016, 19eqtr3d 2510 . . . . . 6 Scalar ScalarScalar Scalar ScalarScalar Scalar Scalar
2112, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 17407 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar Scalar
221, 6, 6, 10, 21syl13anc 1230 . . . . . . . 8 Scalar ScalarScalar Scalar Scalar
2312, 2, 14, 4lmodvs1 17411 . . . . . . . . . 10 Scalar
241, 10, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9 Scalar
2524, 24oveq12d 6313 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
2622, 25eqtrd 2508 . . . . . . 7 Scalar ScalarScalar
2712, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 17407 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar Scalar
281, 6, 6, 11, 27syl13anc 1230 . . . . . . . 8 Scalar ScalarScalar Scalar Scalar
2912, 2, 14, 4lmodvs1 17411 . . . . . . . . . 10 Scalar
301, 11, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9 Scalar
3130, 30oveq12d 6313 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
3228, 31eqtrd 2508 . . . . . . 7 Scalar ScalarScalar
3326, 32oveq12d 6313 . . . . . 6 Scalar ScalarScalar Scalar ScalarScalar
3412, 2, 14, 4lmodvs1 17411 . . . . . . . 8 Scalar
351, 17, 34syl2anc 661 . . . . . . 7 Scalar
3635, 35oveq12d 6313 . . . . . 6 Scalar Scalar
3720, 33, 363eqtr3d 2516 . . . . 5
3812, 13lmodvacl 17397 . . . . . . 7
391, 10, 10, 38syl3anc 1228 . . . . . 6
4012, 13lmodass 17398 . . . . . 6
411, 39, 11, 11, 40syl13anc 1230 . . . . 5
4212, 13lmodass 17398 . . . . . 6
431, 17, 10, 11, 42syl13anc 1230 . . . . 5
4437, 41, 433eqtr4d 2518 . . . 4
45 lmodgrp 17390 . . . . . 6
461, 45syl 16 . . . . 5
4712, 13lmodvacl 17397 . . . . . 6
481, 39, 11, 47syl3anc 1228 . . . . 5
4912, 13lmodvacl 17397 . . . . . 6
501, 17, 10, 49syl3anc 1228 . . . . 5
5112, 13grprcan 15955 . . . . 5
5246, 48, 50, 11, 51syl13anc 1230 . . . 4
5344, 52mpbid 210 . . 3
5412, 13lmodass 17398 . . . 4
551, 10, 10, 11, 54syl13anc 1230 . . 3
5612, 13lmodass 17398 . . . 4
571, 10, 11, 10, 56syl13anc 1230 . . 3
5853, 55, 573eqtr3d 2516 . 2
5912, 13lmodvacl 17397 . . . 4
60593com23 1202 . . 3
6112, 13lmodlcan 17399 . . 3
621, 17, 60, 10, 61syl13anc 1230 . 2
6358, 62mpbid 210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cfv 5594  (class class class)co 6295  cbs 14507   cplusg 14572  Scalarcsca 14575  cvsca 14576  cgrp 15925  cur 17025  clmod 17383 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385 This theorem is referenced by:  lmodabl  17428  lssvsubcl  17461  lssvancl2  17463  lspsolv  17660  lflsub  34265  lcfrlem21  36761  lcfrlem42  36782  mapdindp4  36921
 Copyright terms: Public domain W3C validator