MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodcmn Structured version   Unicode version

Theorem lmodcmn 17358
Description: A left module is a commutative monoid under addition. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmodcmn  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. CMnd
)

Proof of Theorem lmodcmn
StepHypRef Expression
1 lmodabl 17357 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2 ablcmn 16610 . 2  |-  ( W  e.  Abel  ->  W  e. CMnd
)
31, 2syl 16 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. CMnd
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  CMndccmn 16604   Abelcabl 16605   LModclmod 17312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-lmod 17314
This theorem is referenced by:  lmod4  17360  gsumvsmul  17374  gsumvsmulOLD  17375  ply1coe  18136  ply1coeOLD  18137  frlmgsumOLD  18596  frlmgsum  18597  frlmup1  18627  frlmup2  18628  islindf4  18668  lmodslmd  27437  sitgclbn  27953  lincfsuppcl  32113  linccl  32114  lincvalpr  32118  lincdifsn  32124  lincsum  32129  lincresunit3  32181  zlmodzxzldeplem3  32202
  Copyright terms: Public domain W3C validator