MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodbn0 Structured version   Unicode version

Theorem lmodbn0 17500
Description: The base set of a left module is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmodbn0.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
lmodbn0  |-  ( W  e.  LMod  ->  B  =/=  (/) )

Proof of Theorem lmodbn0
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17497 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  W
)
32grpbn0 16057 . 2  |-  ( W  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
41, 3syl 16 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   (/)c0 3770   ` cfv 5578   Basecbs 14613   Grpcgrp 16031   LModclmod 17490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-0g 14820  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-lmod 17492
This theorem is referenced by:  lss1  17563  lmod0rng  32694
  Copyright terms: Public domain W3C validator