Theorem lmodacl 17721

Description: Closure of ring addition for a left module. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodacl.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodacl.k	|- K = ( Base ` F )
lmodacl.p	|- .+ = ( +g ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodacl	|- ( ( W e. LMod /\ X e. K /\ Y e. K ) -> ( X .+ Y ) e. K )

Proof of Theorem lmodacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodacl.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2	1	lmodfgrp 17719	. 2 |- ( W e. LMod -> F e. Grp )
3		lmodacl.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
4		lmodacl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` F )
5	3, 4	grpcl 16265	. 2 |- ( ( F e. Grp /\ X e. K /\ Y e. K ) -> ( X .+ Y ) e. K )
6	2, 5	syl3an1 1259	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K /\ Y e. K ) -> ( X .+ Y ) e. K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   +g cplusg 14787  Scalarcsca 14790   Grpcgrp 16255   LModclmod 17710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-nul 4568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-iota 5534  df-fv 5578  df-ov 6273  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-ring 17398  df-lmod 17712

This theorem is referenced by:  lmodcom  17754  lss1d  17807  lspsolvlem  17986  lfladdcl  35212  lshpkrlem5  35255  ldualvsdi2  35285  baerlem5blem1  37852  hgmapadd  38040