MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodabl Structured version   Unicode version

Theorem lmodabl 17118
Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
lmodabl  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )

Proof of Theorem lmodabl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2455 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
)
2 eqidd 2455 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W ) )
3 lmodgrp 17081 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
4 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
5 eqid 2454 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
64, 5lmodcom 17117 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( +g  `  W ) y )  =  ( y ( +g  `  W
) x ) )
71, 2, 3, 6isabld 16414 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   ` cfv 5529   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   Abelcabel 16402   LModclmod 17074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-lmod 17076
This theorem is referenced by:  lmodcmn  17119  lmodnegadd  17120  lmodvsubadd  17122  lmodvaddsub4  17123  lssvancl1  17152  invlmhm  17249  lmhmplusg  17251  lsmcl  17290  lspprabs  17302  pj1lmhm  17307  pj1lmhm2  17308  lvecindp  17345  lvecindp2  17346  lsmcv  17348  zlmlmod  18082  pjdm2  18264  pjf2  18267  pjfo  18268  ocvpj  18270  frlmsslsp  18351  frlmsslspOLD  18352  nlmtlm  20409  nmhmplusg  20471  clmabl  20776  minveclem2  21048  pjthlem2  21060  ttgcontlem1  23303  isnumbasgrplem3  29629  gsumlsscl  30989  bj-modssabl  32936  lcvexchlem3  33039  lcvexchlem4  33040  lcvexchlem5  33041  lsatcvatlem  33052  lsatcvat  33053  lsatcvat3  33055  l1cvat  33058  lshpsmreu  33112  lshpkrlem5  33117  dia2dimlem5  35071  dihjatc3  35316  dihmeetlem9N  35318  dihjatcclem1  35421  dihjat  35426  lclkrlem2b  35511  baerlem3lem1  35710  baerlem5alem1  35711  baerlem5blem1  35712  baerlem3lem2  35713  baerlem5alem2  35714  baerlem5blem2  35715  hdmap1neglem1N  35831  hdmaprnlem7N  35861
  Copyright terms: Public domain W3C validator