MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodabl Structured version   Unicode version

Theorem lmodabl 17337
Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
lmodabl  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )

Proof of Theorem lmodabl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
)
2 eqidd 2468 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W ) )
3 lmodgrp 17299 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
4 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
5 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
64, 5lmodcom 17336 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( +g  `  W ) y )  =  ( y ( +g  `  W
) x ) )
71, 2, 3, 6isabld 16604 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   ` cfv 5586   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   Abelcabl 16592   LModclmod 17292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-plusg 14561  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-lmod 17294
This theorem is referenced by:  lmodcmn  17338  lmodnegadd  17339  lmodvsubadd  17341  lmodvaddsub4  17342  lssvancl1  17371  invlmhm  17468  lmhmplusg  17470  lsmcl  17509  lspprabs  17521  pj1lmhm  17526  pj1lmhm2  17527  lvecindp  17564  lvecindp2  17565  lsmcv  17567  zlmlmod  18324  pjdm2  18506  pjf2  18509  pjfo  18510  ocvpj  18512  frlmsslsp  18593  frlmsslspOLD  18594  nlmtlm  20934  nmhmplusg  20996  clmabl  21301  minveclem2  21573  pjthlem2  21585  ttgcontlem1  23861  isnumbasgrplem3  30658  gsumlsscl  32049  bj-modssabl  33730  lcvexchlem3  33833  lcvexchlem4  33834  lcvexchlem5  33835  lsatcvatlem  33846  lsatcvat  33847  lsatcvat3  33849  l1cvat  33852  lshpsmreu  33906  lshpkrlem5  33911  dia2dimlem5  35865  dihjatc3  36110  dihmeetlem9N  36112  dihjatcclem1  36215  dihjat  36220  lclkrlem2b  36305  baerlem3lem1  36504  baerlem5alem1  36505  baerlem5blem1  36506  baerlem3lem2  36507  baerlem5alem2  36508  baerlem5blem2  36509  hdmap1neglem1N  36625  hdmaprnlem7N  36655
  Copyright terms: Public domain W3C validator