MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodabl Structured version   Unicode version

Theorem lmodabl 17683
Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
lmodabl  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )

Proof of Theorem lmodabl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2458 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
)
2 eqidd 2458 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W ) )
3 lmodgrp 17645 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
4 eqid 2457 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
5 eqid 2457 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
64, 5lmodcom 17682 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( +g  `  W ) y )  =  ( y ( +g  `  W
) x ) )
71, 2, 3, 6isabld 16937 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1819   ` cfv 5594   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   Abelcabl 16925   LModclmod 17638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640
This theorem is referenced by:  lmodcmn  17684  lmodnegadd  17685  lmodvsubadd  17687  lmodvaddsub4  17688  lssvancl1  17717  invlmhm  17814  lmhmplusg  17816  lsmcl  17855  lspprabs  17867  pj1lmhm  17872  pj1lmhm2  17873  lvecindp  17910  lvecindp2  17911  lsmcv  17913  zlmlmod  18686  pjdm2  18868  pjf2  18871  pjfo  18872  ocvpj  18874  frlmsslsp  18955  frlmsslspOLD  18956  nlmtlm  21327  nmhmplusg  21389  clmabl  21694  minveclem2  21966  pjthlem2  21978  ttgcontlem1  24314  isnumbasgrplem3  31216  gsumlsscl  33078  bj-modssabl  34759  lcvexchlem3  34862  lcvexchlem4  34863  lcvexchlem5  34864  lsatcvatlem  34875  lsatcvat  34876  lsatcvat3  34878  l1cvat  34881  lshpsmreu  34935  lshpkrlem5  34940  dia2dimlem5  36896  dihjatc3  37141  dihmeetlem9N  37143  dihjatcclem1  37246  dihjat  37251  lclkrlem2b  37336  baerlem3lem1  37535  baerlem5alem1  37536  baerlem5blem1  37537  baerlem3lem2  37538  baerlem5alem2  37539  baerlem5blem2  37540  hdmap1neglem1N  37656  hdmaprnlem7N  37686
  Copyright terms: Public domain W3C validator