Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1zrnlvec Structured version   Unicode version

Theorem lmod1zrnlvec 32176
Description: There is a (left) module (a zero module) which is not a (left) vector space. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod1zr.r  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
lmod1zr.m  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )
Assertion
Ref Expression
lmod1zrnlvec  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  e/  LVec )

Proof of Theorem lmod1zrnlvec
StepHypRef Expression
1 lmod1zr.r . . . . . 6  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
2 tpex 6581 . . . . . 6  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { Z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. }  e.  _V
31, 2eqeltri 2551 . . . . 5  |-  R  e. 
_V
4 lmod1zr.m . . . . . 6  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )
54lmodsca 14618 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  R  =  (Scalar `  M )
)
63, 5mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  R  =  (Scalar `  M ) )
71rng1nnzr 32166 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  W  ->  R  e/ NzRing )
8 df-nel 2665 . . . . . . 7  |-  ( R  e/ NzRing 
<->  -.  R  e. NzRing )
97, 8sylib 196 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  W  ->  -.  R  e. NzRing )
10 drngnzr 17692 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e. NzRing )
119, 10nsyl 121 . . . . 5  |-  ( Z  e.  W  ->  -.  R  e.  DivRing )
1211adantl 466 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  -.  R  e.  DivRing )
136, 12eqneltrrd 2577 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  -.  (Scalar `  M
)  e.  DivRing )
1413intnand 914 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  -.  ( M  e. 
LMod  /\  (Scalar `  M
)  e.  DivRing ) )
15 df-nel 2665 . . 3  |-  ( M  e/  LVec  <->  -.  M  e.  LVec )
16 eqid 2467 . . . 4  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
1716islvec 17533 . . 3  |-  ( M  e.  LVec  <->  ( M  e. 
LMod  /\  (Scalar `  M
)  e.  DivRing ) )
1815, 17xchbinx 310 . 2  |-  ( M  e/  LVec  <->  -.  ( M  e.  LMod  /\  (Scalar `  M
)  e.  DivRing ) )
1914, 18sylibr 212 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  e/  LVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    e/ wnel 2663   _Vcvv 3113    u. cun 3474   {csn 4027   {ctp 4031   <.cop 4033   ` cfv 5586   ndxcnx 14483   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   .rcmulr 14552  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   DivRingcdr 17179   LModclmod 17295   LVecclvec 17531  NzRingcnzr 17687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-hash 12370  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-drng 17181  df-lvec 17532  df-nzr 17688
This theorem is referenced by:  lvecpsslmod  32189
  Copyright terms: Public domain W3C validator