Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1zrnlvec Structured version   Unicode version

Theorem lmod1zrnlvec 31143
Description: There is a (left) module (a zero module) which is not a (left) vector space. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod1zr.r  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
lmod1zr.m  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )
Assertion
Ref Expression
lmod1zrnlvec  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  e/  LVec )

Proof of Theorem lmod1zrnlvec
StepHypRef Expression
1 lmod1zr.r . . . . . 6  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
2 tpex 6479 . . . . . 6  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { Z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. }  e.  _V
31, 2eqeltri 2535 . . . . 5  |-  R  e. 
_V
4 lmod1zr.m . . . . . 6  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )
54lmodsca 14407 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  R  =  (Scalar `  M )
)
63, 5mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  R  =  (Scalar `  M ) )
71rng1nnzr 31133 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  W  ->  R  e/ NzRing )
8 df-nel 2647 . . . . . . 7  |-  ( R  e/ NzRing 
<->  -.  R  e. NzRing )
97, 8sylib 196 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  W  ->  -.  R  e. NzRing )
10 drngnzr 17450 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e. NzRing )
119, 10nsyl 121 . . . . 5  |-  ( Z  e.  W  ->  -.  R  e.  DivRing )
1211adantl 466 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  -.  R  e.  DivRing )
136, 12eqneltrrd 2561 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  -.  (Scalar `  M
)  e.  DivRing )
1413intnand 907 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  -.  ( M  e. 
LMod  /\  (Scalar `  M
)  e.  DivRing ) )
15 df-nel 2647 . . 3  |-  ( M  e/  LVec  <->  -.  M  e.  LVec )
16 eqid 2451 . . . 4  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
1716islvec 17291 . . 3  |-  ( M  e.  LVec  <->  ( M  e. 
LMod  /\  (Scalar `  M
)  e.  DivRing ) )
1815, 17xchbinx 310 . 2  |-  ( M  e/  LVec  <->  -.  ( M  e.  LMod  /\  (Scalar `  M
)  e.  DivRing ) )
1914, 18sylibr 212 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  e/  LVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    e/ wnel 2645   _Vcvv 3068    u. cun 3424   {csn 3975   {ctp 3979   <.cop 3981   ` cfv 5516   ndxcnx 14273   Basecbs 14276   +g cplusg 14340   .rcmulr 14341  Scalarcsca 14343   .scvsca 14344   DivRingcdr 16938   LModclmod 17054   LVecclvec 17289  NzRingcnzr 17445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-tpos 6845  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-hash 12205  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-oppr 16821  df-dvdsr 16839  df-unit 16840  df-drng 16940  df-lvec 17290  df-nzr 17446
This theorem is referenced by:  lvecpsslmod  31156
  Copyright terms: Public domain W3C validator