Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1zr Structured version   Unicode version

Theorem lmod1zr 39088
Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod1zr.r  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
lmod1zr.m  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )
Assertion
Ref Expression
lmod1zr  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  e.  LMod )

Proof of Theorem lmod1zr
Dummy variables  a 
b  i  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmod1zr.m . . 3  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )
2 elsni 4018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  { <. Z ,  I >. }  ->  p  =  <. Z ,  I >. )
3 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  <. Z ,  I >.  ->  ( 2nd `  p
)  =  ( 2nd `  <. Z ,  I >. ) )
43adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  p  =  <. Z ,  I >. )  ->  ( 2nd `  p
)  =  ( 2nd `  <. Z ,  I >. ) )
5 op2ndg 6811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z  e.  W  /\  I  e.  V )  ->  ( 2nd `  <. Z ,  I >. )  =  I )
65ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( 2nd `  <. Z ,  I >. )  =  I )
7 snidg 4019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
87adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  I  e.  { I } )
96, 8eqeltrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( 2nd `  <. Z ,  I >. )  e.  { I } )
109adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  p  =  <. Z ,  I >. )  ->  ( 2nd `  <. Z ,  I >. )  e.  { I } )
114, 10eqeltrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  p  =  <. Z ,  I >. )  ->  ( 2nd `  p
)  e.  { I } )
122, 11sylan2 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  p  e.  {
<. Z ,  I >. } )  ->  ( 2nd `  p )  e.  {
I } )
13 eqid 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  { <. Z ,  I >. }  |->  ( 2nd `  p ) )  =  ( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) )
1412, 13fmptd 6052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) ) : { <. Z ,  I >. } --> { I } )
15 opex 4677 . . . . . . . . . 10  |-  <. Z ,  I >.  e.  _V
16 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  I  e.  V )
17 fsng 6069 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. Z ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  (
( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) ) : { <. Z ,  I >. } --> { I }  <->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. }  |->  ( 2nd `  p
) )  =  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } ) )
1815, 16, 17sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( ( p  e. 
{ <. Z ,  I >. }  |->  ( 2nd `  p
) ) : { <. Z ,  I >. } --> { I }  <->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. }  |->  ( 2nd `  p
) )  =  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } ) )
1914, 18mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) )  =  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } )
20 xpsng 6071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  e.  W  /\  I  e.  V )  ->  ( { Z }  X.  { I } )  =  { <. Z ,  I >. } )
2120ancoms 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( { Z }  X.  { I } )  =  { <. Z ,  I >. } )
2221eqcomd 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { <. Z ,  I >. }  =  ( { Z }  X.  {
I } ) )
2322mpteq1d 4498 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) )  =  ( p  e.  ( { Z }  X.  {
I } )  |->  ( 2nd `  p ) ) )
2419, 23eqtr3d 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. }  =  ( p  e.  ( { Z }  X.  {
I } )  |->  ( 2nd `  p ) ) )
25 vex 3081 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
26 vex 3081 . . . . . . . . . 10  |-  i  e. 
_V
2725, 26op2ndd 6809 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  <. z ,  i
>.  ->  ( 2nd `  p
)  =  i )
2827mpt2mpt 6393 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( { Z }  X.  { I }
)  |->  ( 2nd `  p
) )  =  ( z  e.  { Z } ,  i  e.  { I }  |->  i )
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( p  e.  ( { Z }  X.  { I } ) 
|->  ( 2nd `  p
) )  =  ( z  e.  { Z } ,  i  e.  { I }  |->  i ) )
30 snex 4654 . . . . . . . . 9  |-  { Z }  e.  _V
31 lmod1zr.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
3231rngbase 15197 . . . . . . . . 9  |-  ( { Z }  e.  _V  ->  { Z }  =  ( Base `  R )
)
3330, 32mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { Z }  =  ( Base `  R )
)
34 eqidd 2421 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { I }  =  { I } )
35 mpt2eq12 6356 . . . . . . . 8  |-  ( ( { Z }  =  ( Base `  R )  /\  { I }  =  { I } )  ->  ( z  e. 
{ Z } , 
i  e.  { I }  |->  i )  =  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) )
3633, 34, 35syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( z  e.  { Z } ,  i  e. 
{ I }  |->  i )  =  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) )
3724, 29, 363eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. }  =  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) )
3837opeq2d 4188 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  -> 
<. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. }
>.  =  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) >. )
3938sneqd 4005 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. }  =  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. } )
4039uneq2d 3617 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. , 
<. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. } ) )
411, 40syl5eq 2473 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. , 
<. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. } ) )
4231ring1 17758 . . 3  |-  ( Z  e.  W  ->  R  e.  Ring )
43 eqidd 2421 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  i  =  i )
44 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  b  ->  i  =  b )
4543, 44cbvmpt2v 6376 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i )  =  ( a  e.  ( Base `  R
) ,  b  e. 
{ I }  |->  b )
4645opeq2i 4185 . . . . . 6  |-  <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) >.  =  <. ( .s `  ndx ) ,  ( a  e.  ( Base `  R
) ,  b  e. 
{ I }  |->  b ) >.
4746sneqi 4004 . . . . 5  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. }  =  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( a  e.  ( Base `  R
) ,  b  e. 
{ I }  |->  b ) >. }
4847uneq2i 3614 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. , 
<. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( a  e.  (
Base `  R ) ,  b  e.  { I }  |->  b ) >. } )
4948lmod1 39087 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) >. } )  e.  LMod )
5042, 49sylan2 476 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) >. } )  e.  LMod )
5141, 50eqeltrd 2508 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   _Vcvv 3078    u. cun 3431   {csn 3993   {ctp 3997   <.cop 3999    |-> cmpt 4475    X. cxp 4843   -->wf 5588   ` cfv 5592    |-> cmpt2 6298   2ndc2nd 6797   ndxcnx 15070   Basecbs 15073   +g cplusg 15142   .rcmulr 15143  Scalarcsca 15145   .scvsca 15146   Ringcrg 17708   LModclmod 18019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-0g 15292  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-grp 16617  df-mgp 17652  df-ur 17664  df-ring 17710  df-lmod 18021
This theorem is referenced by:  lmodn0  39090  lvecpsslmod  39102
  Copyright terms: Public domain W3C validator