Theorem lmod1zr 40339

Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	|- R = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
lmod1zr.m	|- M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } )

Assertion

Ref	Expression
lmod1zr	|- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M e. LMod )

Proof of Theorem lmod1zr

Dummy variables a b i p z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.m	. . 3 |- M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } )
2		elsni 3993	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. { <. Z , I >. } -> p = <. Z , I >. )
3		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = <. Z , I >. -> ( 2nd ` p ) = ( 2nd ` <. Z , I >. ) )
4	3	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p = <. Z , I >. ) -> ( 2nd ` p ) = ( 2nd ` <. Z , I >. ) )
5		op2ndg 6806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Z e. W /\ I e. V ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) = I )
6	5	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) = I )
7		snidg 3994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. V -> I e. { I } )
8	7	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> I e. { I } )
9	6, 8	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) e. { I } )
10	9	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p = <. Z , I >. ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) e. { I } )
11	4, 10	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p = <. Z , I >. ) -> ( 2nd ` p ) e. { I } )
12	2, 11	sylan2 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p e. { <. Z , I >. } ) -> ( 2nd ` p ) e. { I } )
13		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) )
14	12, 13	fmptd 6046	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) : { <. Z , I >. } --> { I } )
15		opex 4664	. . . . . . . . . 10 |- <. Z , I >. e. _V
16		simpl 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> I e. V )
17		fsng 6063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. Z , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) : { <. Z , I >. } --> { I } <-> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = { <. <. Z , I >. , I >. } ) )
18	15, 16, 17	sylancr 669	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) : { <. Z , I >. } --> { I } <-> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = { <. <. Z , I >. , I >. } ) )
19	14, 18	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = { <. <. Z , I >. , I >. } )
20		xpsng 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. W /\ I e. V ) -> ( { Z } X. { I } ) = { <. Z , I >. } )
21	20	ancoms 455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( { Z } X. { I } ) = { <. Z , I >. } )
22	21	eqcomd 2457	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. Z , I >. } = ( { Z } X. { I } ) )
23	22	mpteq1d 4484	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) )
24	19, 23	eqtr3d 2487	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. <. Z , I >. , I >. } = ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) )
25		vex 3048	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
26		vex 3048	. . . . . . . . . 10 |- i e. _V
27	25, 26	op2ndd 6804	. . . . . . . . 9 |- ( p = <. z , i >. -> ( 2nd ` p ) = i )
28	27	mpt2mpt 6388	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) = ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i )
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) = ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i ) )
30		snex 4641	. . . . . . . . 9 |- { Z } e. _V
31		lmod1zr.r	. . . . . . . . . 10 |- R = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
32	31	rngbase 15245	. . . . . . . . 9 |- ( { Z } e. _V -> { Z } = ( Base ` R ) )
33	30, 32	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { Z } = ( Base ` R ) )
34		eqidd 2452	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { I } = { I } )
35		mpt2eq12 6351	. . . . . . . 8 |- ( ( { Z } = ( Base ` R ) /\ { I } = { I } ) -> ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i ) = ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i ) = ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) )
37	24, 29, 36	3eqtrd 2489	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. <. Z , I >. , I >. } = ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) )
38	37	opeq2d 4173	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. = <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. )
39	38	sneqd 3980	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } = { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } )
40	39	uneq2d 3588	. . 3 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) )
41	1, 40	syl5eq 2497	. 2 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) )
42	31	ring1 17830	. . 3 |- ( Z e. W -> R e. Ring )
43		eqidd 2452	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> i = i )
44		id 22	. . . . . . . 8 |- ( i = b -> i = b )
45	43, 44	cbvmpt2v 6371	. . . . . . 7 |- ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) = ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b )
46	45	opeq2i 4170	. . . . . 6 |- <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. = <. ( .s ` ndx ) , ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b ) >.
47	46	sneqi 3979	. . . . 5 |- { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } = { <. ( .s ` ndx ) , ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b ) >. }
48	47	uneq2i 3585	. . . 4 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b ) >. } )
49	48	lmod1 40338	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. Ring ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) e. LMod )
50	42, 49	sylan2 477	. 2 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) e. LMod )
51	41, 50	eqeltrd 2529	1 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   u. cun 3402   {csn 3968   {ctp 3972   <.cop 3974   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   -->wf 5578   ` cfv 5582   |-> cmpt2 6292   2ndc2nd 6792   ndxcnx 15118   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   .rcmulr 15191  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   Ringcrg 17780   LModclmod 18091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093

This theorem is referenced by:  lmodn0  40341  lvecpsslmod  40353