Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1zr Structured version   Unicode version

Theorem lmod1zr 32193
Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod1zr.r  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
lmod1zr.m  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )
Assertion
Ref Expression
lmod1zr  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  e.  LMod )

Proof of Theorem lmod1zr
Dummy variables  a 
b  i  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmod1zr.m . . 3  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )
2 elsni 4052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  { <. Z ,  I >. }  ->  p  =  <. Z ,  I >. )
3 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  <. Z ,  I >.  ->  ( 2nd `  p
)  =  ( 2nd `  <. Z ,  I >. ) )
43adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  p  =  <. Z ,  I >. )  ->  ( 2nd `  p
)  =  ( 2nd `  <. Z ,  I >. ) )
5 op2ndg 6797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z  e.  W  /\  I  e.  V )  ->  ( 2nd `  <. Z ,  I >. )  =  I )
65ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( 2nd `  <. Z ,  I >. )  =  I )
7 snidg 4053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
87adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  I  e.  { I } )
96, 8eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( 2nd `  <. Z ,  I >. )  e.  { I } )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  p  =  <. Z ,  I >. )  ->  ( 2nd `  <. Z ,  I >. )  e.  { I } )
114, 10eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  p  =  <. Z ,  I >. )  ->  ( 2nd `  p
)  e.  { I } )
122, 11sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  p  e.  {
<. Z ,  I >. } )  ->  ( 2nd `  p )  e.  {
I } )
13 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  { <. Z ,  I >. }  |->  ( 2nd `  p ) )  =  ( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) )
1412, 13fmptd 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) ) : { <. Z ,  I >. } --> { I } )
15 opex 4711 . . . . . . . . . 10  |-  <. Z ,  I >.  e.  _V
16 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  I  e.  V )
17 fsng 6060 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. Z ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  (
( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) ) : { <. Z ,  I >. } --> { I }  <->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. }  |->  ( 2nd `  p
) )  =  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } ) )
1815, 16, 17sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( ( p  e. 
{ <. Z ,  I >. }  |->  ( 2nd `  p
) ) : { <. Z ,  I >. } --> { I }  <->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. }  |->  ( 2nd `  p
) )  =  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } ) )
1914, 18mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) )  =  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } )
20 xpsng 6062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  e.  W  /\  I  e.  V )  ->  ( { Z }  X.  { I } )  =  { <. Z ,  I >. } )
2120ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( { Z }  X.  { I } )  =  { <. Z ,  I >. } )
2221eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { <. Z ,  I >. }  =  ( { Z }  X.  {
I } ) )
2322mpteq1d 4528 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) )  =  ( p  e.  ( { Z }  X.  {
I } )  |->  ( 2nd `  p ) ) )
2419, 23eqtr3d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. }  =  ( p  e.  ( { Z }  X.  {
I } )  |->  ( 2nd `  p ) ) )
25 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
26 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  i  e. 
_V
2725, 26op2ndd 6795 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  <. z ,  i
>.  ->  ( 2nd `  p
)  =  i )
2827mpt2mpt 6378 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( { Z }  X.  { I }
)  |->  ( 2nd `  p
) )  =  ( z  e.  { Z } ,  i  e.  { I }  |->  i )
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( p  e.  ( { Z }  X.  { I } ) 
|->  ( 2nd `  p
) )  =  ( z  e.  { Z } ,  i  e.  { I }  |->  i ) )
30 snex 4688 . . . . . . . . 9  |-  { Z }  e.  _V
31 lmod1zr.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
3231rngbase 14603 . . . . . . . . 9  |-  ( { Z }  e.  _V  ->  { Z }  =  ( Base `  R )
)
3330, 32mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { Z }  =  ( Base `  R )
)
34 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { I }  =  { I } )
35 mpt2eq12 6341 . . . . . . . 8  |-  ( ( { Z }  =  ( Base `  R )  /\  { I }  =  { I } )  ->  ( z  e. 
{ Z } , 
i  e.  { I }  |->  i )  =  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) )
3633, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( z  e.  { Z } ,  i  e. 
{ I }  |->  i )  =  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) )
3724, 29, 363eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. }  =  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) )
3837opeq2d 4220 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  -> 
<. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. }
>.  =  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) >. )
3938sneqd 4039 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. }  =  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. } )
4039uneq2d 3658 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. , 
<. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. } ) )
411, 40syl5eq 2520 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. , 
<. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. } ) )
4231rng1 17049 . . 3  |-  ( Z  e.  W  ->  R  e.  Ring )
43 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  i  =  i )
44 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  b  ->  i  =  b )
4543, 44cbvmpt2v 6361 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i )  =  ( a  e.  ( Base `  R
) ,  b  e. 
{ I }  |->  b )
4645opeq2i 4217 . . . . . 6  |-  <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) >.  =  <. ( .s `  ndx ) ,  ( a  e.  ( Base `  R
) ,  b  e. 
{ I }  |->  b ) >.
4746sneqi 4038 . . . . 5  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. }  =  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( a  e.  ( Base `  R
) ,  b  e. 
{ I }  |->  b ) >. }
4847uneq2i 3655 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. , 
<. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( a  e.  (
Base `  R ) ,  b  e.  { I }  |->  b ) >. } )
4948lmod1 32192 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) >. } )  e.  LMod )
5042, 49sylan2 474 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) >. } )  e.  LMod )
5141, 50eqeltrd 2555 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    u. cun 3474   {csn 4027   {ctp 4031   <.cop 4033    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   -->wf 5584   ` cfv 5588    |-> cmpt2 6286   2ndc2nd 6783   ndxcnx 14487   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556  Scalarcsca 14558   .scvsca 14559   Ringcrg 17000   LModclmod 17312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-lmod 17314
This theorem is referenced by:  lmodn0  32195  lvecpsslmod  32207
  Copyright terms: Public domain W3C validator