Theorem lmod1zr 40794

Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	|- R = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
lmod1zr.m	|- M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } )

Assertion

Ref	Expression
lmod1zr	|- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M e. LMod )

Proof of Theorem lmod1zr

Dummy variables a b i p z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.m	. . 3 |- M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } )
2		elsni 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. { <. Z , I >. } -> p = <. Z , I >. )
3		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = <. Z , I >. -> ( 2nd ` p ) = ( 2nd ` <. Z , I >. ) )
4	3	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p = <. Z , I >. ) -> ( 2nd ` p ) = ( 2nd ` <. Z , I >. ) )
5		op2ndg 6825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Z e. W /\ I e. V ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) = I )
6	5	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) = I )
7		snidg 3986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. V -> I e. { I } )
8	7	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> I e. { I } )
9	6, 8	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) e. { I } )
10	9	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p = <. Z , I >. ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) e. { I } )
11	4, 10	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p = <. Z , I >. ) -> ( 2nd ` p ) e. { I } )
12	2, 11	sylan2 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p e. { <. Z , I >. } ) -> ( 2nd ` p ) e. { I } )
13		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) )
14	12, 13	fmptd 6061	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) : { <. Z , I >. } --> { I } )
15		opex 4664	. . . . . . . . . 10 |- <. Z , I >. e. _V
16		simpl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> I e. V )
17		fsng 6079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. Z , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) : { <. Z , I >. } --> { I } <-> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = { <. <. Z , I >. , I >. } ) )
18	15, 16, 17	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) : { <. Z , I >. } --> { I } <-> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = { <. <. Z , I >. , I >. } ) )
19	14, 18	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = { <. <. Z , I >. , I >. } )
20		xpsng 6081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. W /\ I e. V ) -> ( { Z } X. { I } ) = { <. Z , I >. } )
21	20	ancoms 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( { Z } X. { I } ) = { <. Z , I >. } )
22	21	eqcomd 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. Z , I >. } = ( { Z } X. { I } ) )
23	22	mpteq1d 4477	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) )
24	19, 23	eqtr3d 2507	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. <. Z , I >. , I >. } = ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) )
25		vex 3034	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
26		vex 3034	. . . . . . . . . 10 |- i e. _V
27	25, 26	op2ndd 6823	. . . . . . . . 9 |- ( p = <. z , i >. -> ( 2nd ` p ) = i )
28	27	mpt2mpt 6407	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) = ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i )
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) = ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i ) )
30		snex 4641	. . . . . . . . 9 |- { Z } e. _V
31		lmod1zr.r	. . . . . . . . . 10 |- R = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
32	31	rngbase 15323	. . . . . . . . 9 |- ( { Z } e. _V -> { Z } = ( Base ` R ) )
33	30, 32	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { Z } = ( Base ` R ) )
34		eqidd 2472	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { I } = { I } )
35		mpt2eq12 6370	. . . . . . . 8 |- ( ( { Z } = ( Base ` R ) /\ { I } = { I } ) -> ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i ) = ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i ) = ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) )
37	24, 29, 36	3eqtrd 2509	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. <. Z , I >. , I >. } = ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) )
38	37	opeq2d 4165	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. = <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. )
39	38	sneqd 3971	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } = { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } )
40	39	uneq2d 3579	. . 3 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) )
41	1, 40	syl5eq 2517	. 2 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) )
42	31	ring1 17908	. . 3 |- ( Z e. W -> R e. Ring )
43		eqidd 2472	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> i = i )
44		id 22	. . . . . . . 8 |- ( i = b -> i = b )
45	43, 44	cbvmpt2v 6390	. . . . . . 7 |- ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) = ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b )
46	45	opeq2i 4162	. . . . . 6 |- <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. = <. ( .s ` ndx ) , ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b ) >.
47	46	sneqi 3970	. . . . 5 |- { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } = { <. ( .s ` ndx ) , ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b ) >. }
48	47	uneq2i 3576	. . . 4 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b ) >. } )
49	48	lmod1 40793	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. Ring ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) e. LMod )
50	42, 49	sylan2 482	. 2 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) e. LMod )
51	41, 50	eqeltrd 2549	1 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   u. cun 3388   {csn 3959   {ctp 3963   <.cop 3965   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   -->wf 5585   ` cfv 5589   |-> cmpt2 6310   2ndc2nd 6811   ndxcnx 15196   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   .rcmulr 15269  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   Ringcrg 17858   LModclmod 18169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-lmod 18171

This theorem is referenced by:  lmodn0  40796  lvecpsslmod  40808