Theorem lmod1zr 32193

Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	|- R = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
lmod1zr.m	|- M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } )

Assertion

Ref	Expression
lmod1zr	|- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M e. LMod )

Proof of Theorem lmod1zr

Dummy variables a b i p z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.m	. . 3 |- M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } )
2		elsni 4052	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. { <. Z , I >. } -> p = <. Z , I >. )
3		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = <. Z , I >. -> ( 2nd ` p ) = ( 2nd ` <. Z , I >. ) )
4	3	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p = <. Z , I >. ) -> ( 2nd ` p ) = ( 2nd ` <. Z , I >. ) )
5		op2ndg 6797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Z e. W /\ I e. V ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) = I )
6	5	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) = I )
7		snidg 4053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. V -> I e. { I } )
8	7	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> I e. { I } )
9	6, 8	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) e. { I } )
10	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p = <. Z , I >. ) -> ( 2nd ` <. Z , I >. ) e. { I } )
11	4, 10	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p = <. Z , I >. ) -> ( 2nd ` p ) e. { I } )
12	2, 11	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ p e. { <. Z , I >. } ) -> ( 2nd ` p ) e. { I } )
13		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) )
14	12, 13	fmptd 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) : { <. Z , I >. } --> { I } )
15		opex 4711	. . . . . . . . . 10 |- <. Z , I >. e. _V
16		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> I e. V )
17		fsng 6060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. Z , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) : { <. Z , I >. } --> { I } <-> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = { <. <. Z , I >. , I >. } ) )
18	15, 16, 17	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) : { <. Z , I >. } --> { I } <-> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = { <. <. Z , I >. , I >. } ) )
19	14, 18	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = { <. <. Z , I >. , I >. } )
20		xpsng 6062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. W /\ I e. V ) -> ( { Z } X. { I } ) = { <. Z , I >. } )
21	20	ancoms 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( { Z } X. { I } ) = { <. Z , I >. } )
22	21	eqcomd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. Z , I >. } = ( { Z } X. { I } ) )
23	22	mpteq1d 4528	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. { <. Z , I >. } |-> ( 2nd ` p ) ) = ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) )
24	19, 23	eqtr3d 2510	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. <. Z , I >. , I >. } = ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) )
25		vex 3116	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
26		vex 3116	. . . . . . . . . 10 |- i e. _V
27	25, 26	op2ndd 6795	. . . . . . . . 9 |- ( p = <. z , i >. -> ( 2nd ` p ) = i )
28	27	mpt2mpt 6378	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) = ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i )
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( p e. ( { Z } X. { I } ) |-> ( 2nd ` p ) ) = ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i ) )
30		snex 4688	. . . . . . . . 9 |- { Z } e. _V
31		lmod1zr.r	. . . . . . . . . 10 |- R = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
32	31	rngbase 14603	. . . . . . . . 9 |- ( { Z } e. _V -> { Z } = ( Base ` R ) )
33	30, 32	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { Z } = ( Base ` R ) )
34		eqidd 2468	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { I } = { I } )
35		mpt2eq12 6341	. . . . . . . 8 |- ( ( { Z } = ( Base ` R ) /\ { I } = { I } ) -> ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i ) = ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( z e. { Z } , i e. { I } |-> i ) = ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) )
37	24, 29, 36	3eqtrd 2512	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. <. Z , I >. , I >. } = ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) )
38	37	opeq2d 4220	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. = <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. )
39	38	sneqd 4039	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } = { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } )
40	39	uneq2d 3658	. . 3 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) )
41	1, 40	syl5eq 2520	. 2 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) )
42	31	rng1 17049	. . 3 |- ( Z e. W -> R e. Ring )
43		eqidd 2468	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> i = i )
44		id 22	. . . . . . . 8 |- ( i = b -> i = b )
45	43, 44	cbvmpt2v 6361	. . . . . . 7 |- ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) = ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b )
46	45	opeq2i 4217	. . . . . 6 |- <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. = <. ( .s ` ndx ) , ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b ) >.
47	46	sneqi 4038	. . . . 5 |- { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } = { <. ( .s ` ndx ) , ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b ) >. }
48	47	uneq2i 3655	. . . 4 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( a e. ( Base ` R ) , b e. { I } |-> b ) >. } )
49	48	lmod1 32192	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. Ring ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) e. LMod )
50	42, 49	sylan2 474	. 2 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( z e. ( Base ` R ) , i e. { I } |-> i ) >. } ) e. LMod )
51	41, 50	eqeltrd 2555	1 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   u. cun 3474   {csn 4027   {ctp 4031   <.cop 4033   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   -->wf 5584   ` cfv 5588   |-> cmpt2 6286   2ndc2nd 6783   ndxcnx 14487   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556  Scalarcsca 14558   .scvsca 14559   Ringcrg 17000   LModclmod 17312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-lmod 17314

This theorem is referenced by:  lmodn0  32195  lvecpsslmod  32207