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Mathbox for Alexander van der Vekens |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > lmod1zr | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) |
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lmod1zr.r |
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lmod1zr.m |
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Ref | Expression |
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lmod1zr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | lmod1zr.m |
. . 3
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2 | elsni 3985 |
. . . . . . . . . . 11
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3 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . . 13
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4 | 3 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . 12
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5 | op2ndg 6825 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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6 | 5 | ancoms 460 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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7 | snidg 3986 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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8 | 7 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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9 | 6, 8 | eqeltrd 2549 |
. . . . . . . . . . . . 13
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10 | 9 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . 12
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11 | 4, 10 | eqeltrd 2549 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 2, 11 | sylan2 482 |
. . . . . . . . . 10
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13 | eqid 2471 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 12, 13 | fmptd 6061 |
. . . . . . . . 9
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15 | opex 4664 |
. . . . . . . . . 10
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16 | simpl 464 |
. . . . . . . . . 10
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17 | fsng 6079 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 15, 16, 17 | sylancr 676 |
. . . . . . . . 9
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19 | 14, 18 | mpbid 215 |
. . . . . . . 8
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20 | xpsng 6081 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 20 | ancoms 460 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | eqcomd 2477 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | mpteq1d 4477 |
. . . . . . . 8
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24 | 19, 23 | eqtr3d 2507 |
. . . . . . 7
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25 | vex 3034 |
. . . . . . . . . 10
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26 | vex 3034 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 25, 26 | op2ndd 6823 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | mpt2mpt 6407 |
. . . . . . . 8
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29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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30 | snex 4641 |
. . . . . . . . 9
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31 | lmod1zr.r |
. . . . . . . . . 10
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32 | 31 | rngbase 15323 |
. . . . . . . . 9
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33 | 30, 32 | mp1i 13 |
. . . . . . . 8
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34 | eqidd 2472 |
. . . . . . . 8
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35 | mpt2eq12 6370 |
. . . . . . . 8
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36 | 33, 34, 35 | syl2anc 673 |
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37 | 24, 29, 36 | 3eqtrd 2509 |
. . . . . 6
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38 | 37 | opeq2d 4165 |
. . . . 5
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39 | 38 | sneqd 3971 |
. . . 4
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40 | 39 | uneq2d 3579 |
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41 | 1, 40 | syl5eq 2517 |
. 2
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42 | 31 | ring1 17908 |
. . 3
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43 | eqidd 2472 |
. . . . . . . 8
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44 | id 22 |
. . . . . . . 8
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45 | 43, 44 | cbvmpt2v 6390 |
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46 | 45 | opeq2i 4162 |
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47 | 46 | sneqi 3970 |
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48 | 47 | uneq2i 3576 |
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49 | 48 | lmod1 40793 |
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50 | 42, 49 | sylan2 482 |
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51 | 41, 50 | eqeltrd 2549 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-oadd 7204 df-er 7381 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-4 10692 df-5 10693 df-6 10694 df-n0 10894 df-z 10962 df-uz 11183 df-fz 11811 df-struct 15201 df-ndx 15202 df-slot 15203 df-base 15204 df-sets 15205 df-plusg 15281 df-mulr 15282 df-sca 15284 df-vsca 15285 df-0g 15418 df-mgm 16566 df-sgrp 16605 df-mnd 16615 df-grp 16751 df-mgp 17802 df-ur 17814 df-ring 17860 df-lmod 18171 |
This theorem is referenced by: lmodn0 40796 lvecpsslmod 40808 |
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