Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1zr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lmod1zr 40339
Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod1zr.r  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
lmod1zr.m  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )
Assertion
Ref Expression
lmod1zr  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  e.  LMod )

Proof of Theorem lmod1zr
Dummy variables  a 
b  i  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmod1zr.m . . 3  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )
2 elsni 3993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  { <. Z ,  I >. }  ->  p  =  <. Z ,  I >. )
3 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  <. Z ,  I >.  ->  ( 2nd `  p
)  =  ( 2nd `  <. Z ,  I >. ) )
43adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  p  =  <. Z ,  I >. )  ->  ( 2nd `  p
)  =  ( 2nd `  <. Z ,  I >. ) )
5 op2ndg 6806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z  e.  W  /\  I  e.  V )  ->  ( 2nd `  <. Z ,  I >. )  =  I )
65ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( 2nd `  <. Z ,  I >. )  =  I )
7 snidg 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
87adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  I  e.  { I } )
96, 8eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( 2nd `  <. Z ,  I >. )  e.  { I } )
109adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  p  =  <. Z ,  I >. )  ->  ( 2nd `  <. Z ,  I >. )  e.  { I } )
114, 10eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  p  =  <. Z ,  I >. )  ->  ( 2nd `  p
)  e.  { I } )
122, 11sylan2 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  p  e.  {
<. Z ,  I >. } )  ->  ( 2nd `  p )  e.  {
I } )
13 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  { <. Z ,  I >. }  |->  ( 2nd `  p ) )  =  ( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) )
1412, 13fmptd 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) ) : { <. Z ,  I >. } --> { I } )
15 opex 4664 . . . . . . . . . 10  |-  <. Z ,  I >.  e.  _V
16 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  I  e.  V )
17 fsng 6063 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. Z ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  (
( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) ) : { <. Z ,  I >. } --> { I }  <->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. }  |->  ( 2nd `  p
) )  =  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } ) )
1815, 16, 17sylancr 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( ( p  e. 
{ <. Z ,  I >. }  |->  ( 2nd `  p
) ) : { <. Z ,  I >. } --> { I }  <->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. }  |->  ( 2nd `  p
) )  =  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } ) )
1914, 18mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) )  =  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } )
20 xpsng 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  e.  W  /\  I  e.  V )  ->  ( { Z }  X.  { I } )  =  { <. Z ,  I >. } )
2120ancoms 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( { Z }  X.  { I } )  =  { <. Z ,  I >. } )
2221eqcomd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { <. Z ,  I >. }  =  ( { Z }  X.  {
I } ) )
2322mpteq1d 4484 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( p  e.  { <. Z ,  I >. } 
|->  ( 2nd `  p
) )  =  ( p  e.  ( { Z }  X.  {
I } )  |->  ( 2nd `  p ) ) )
2419, 23eqtr3d 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. }  =  ( p  e.  ( { Z }  X.  {
I } )  |->  ( 2nd `  p ) ) )
25 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
26 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  i  e. 
_V
2725, 26op2ndd 6804 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  <. z ,  i
>.  ->  ( 2nd `  p
)  =  i )
2827mpt2mpt 6388 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( { Z }  X.  { I }
)  |->  ( 2nd `  p
) )  =  ( z  e.  { Z } ,  i  e.  { I }  |->  i )
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( p  e.  ( { Z }  X.  { I } ) 
|->  ( 2nd `  p
) )  =  ( z  e.  { Z } ,  i  e.  { I }  |->  i ) )
30 snex 4641 . . . . . . . . 9  |-  { Z }  e.  _V
31 lmod1zr.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
3231rngbase 15245 . . . . . . . . 9  |-  ( { Z }  e.  _V  ->  { Z }  =  ( Base `  R )
)
3330, 32mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { Z }  =  ( Base `  R )
)
34 eqidd 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { I }  =  { I } )
35 mpt2eq12 6351 . . . . . . . 8  |-  ( ( { Z }  =  ( Base `  R )  /\  { I }  =  { I } )  ->  ( z  e. 
{ Z } , 
i  e.  { I }  |->  i )  =  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) )
3633, 34, 35syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( z  e.  { Z } ,  i  e. 
{ I }  |->  i )  =  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) )
3724, 29, 363eqtrd 2489 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. }  =  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) )
3837opeq2d 4173 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  -> 
<. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. }
>.  =  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) >. )
3938sneqd 3980 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. }  =  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. } )
4039uneq2d 3588 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  I >. ,  I >. } >. } )  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. , 
<. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. } ) )
411, 40syl5eq 2497 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. , 
<. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. } ) )
4231ring1 17830 . . 3  |-  ( Z  e.  W  ->  R  e.  Ring )
43 eqidd 2452 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  i  =  i )
44 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  b  ->  i  =  b )
4543, 44cbvmpt2v 6371 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i )  =  ( a  e.  ( Base `  R
) ,  b  e. 
{ I }  |->  b )
4645opeq2i 4170 . . . . . 6  |-  <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) >.  =  <. ( .s `  ndx ) ,  ( a  e.  ( Base `  R
) ,  b  e. 
{ I }  |->  b ) >.
4746sneqi 3979 . . . . 5  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. }  =  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( a  e.  ( Base `  R
) ,  b  e. 
{ I }  |->  b ) >. }
4847uneq2i 3585 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. , 
<. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  ( Base `  R
) ,  i  e. 
{ I }  |->  i ) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( a  e.  (
Base `  R ) ,  b  e.  { I }  |->  b ) >. } )
4948lmod1 40338 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) >. } )  e.  LMod )
5042, 49sylan2 477 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( z  e.  (
Base `  R ) ,  i  e.  { I }  |->  i ) >. } )  e.  LMod )
5141, 50eqeltrd 2529 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  M  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    u. cun 3402   {csn 3968   {ctp 3972   <.cop 3974    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   -->wf 5578   ` cfv 5582    |-> cmpt2 6292   2ndc2nd 6792   ndxcnx 15118   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   .rcmulr 15191  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   Ringcrg 17780   LModclmod 18091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093
This theorem is referenced by:  lmodn0  40341  lvecpsslmod  40353
  Copyright terms: Public domain W3C validator