Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem5 Structured version   Unicode version

Theorem lmod1lem5 38584
Description: Lemma 5 for lmod1 38585. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) >. } )
Assertion
Ref Expression
lmod1lem5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( 1r `  (Scalar `  M ) ) ( .s `  M
) I )  =  I )
Distinct variable groups:    x, I,
y    x, R, y    x, V, y    x, M, y

Proof of Theorem lmod1lem5
StepHypRef Expression
1 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
2 snex 4631 . . . . . 6  |-  { I }  e.  _V
31, 2pm3.2i 453 . . . . 5  |-  ( (
Base `  R )  e.  _V  /\  { I }  e.  _V )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  { I }  e.  _V ) )
5 mpt2exga 6859 . . . 4  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  { I }  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e. 
{ I }  |->  y )  e.  _V )
6 lmod1.m . . . . 5  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) >. } )
76lmodvsca 14979 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  e.  _V  ->  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  =  ( .s `  M
) )
84, 5, 73syl 20 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  =  ( .s `  M
) )
98eqcomd 2410 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( .s `  M
)  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e. 
{ I }  |->  y ) )
10 simprr 758 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  =  ( 1r `  (Scalar `  M ) )  /\  y  =  I )
)  ->  y  =  I )
116lmodsca 14978 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  M )
)
1211adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  R  =  (Scalar `  M
) )
1312eqcomd 2410 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  M )  =  R )
1413fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  (Scalar `  M ) )  =  ( 1r `  R
) )
15 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
16 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
1715, 16ringidcl 17537 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
1817adantl 464 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
1914, 18eqeltrd 2490 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  (Scalar `  M ) )  e.  ( Base `  R
) )
20 snidg 3997 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
2120adantr 463 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  I  e.  { I } )
229, 10, 19, 21, 21ovmpt2d 6410 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( 1r `  (Scalar `  M ) ) ( .s `  M
) I )  =  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    u. cun 3411   {csn 3971   {ctp 3975   <.cop 3977   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   ndxcnx 14836   Basecbs 14839   +g cplusg 14907  Scalarcsca 14910   .scvsca 14911   1rcur 17471   Ringcrg 17516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518
This theorem is referenced by:  lmod1  38585
  Copyright terms: Public domain W3C validator