Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem lmod1lem2 32047
Description: Lemma 2 for lmod1 32051. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) >. } )
Assertion
Ref Expression
lmod1lem2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) ( I ( +g  `  M
) I ) )  =  ( ( r ( .s `  M
) I ) ( +g  `  M ) ( r ( .s
`  M ) I ) ) )
Distinct variable groups:    I, r, x, y    R, r, x, y    V, r, x, y
Allowed substitution hints:    M( x, y, r)

Proof of Theorem lmod1lem2
StepHypRef Expression
1 fvex 5869 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
2 snex 4683 . . . . . . 7  |-  { I }  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  R )  e.  _V  /\  { I }  e.  _V )
4 mpt2exga 6851 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  { I }  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e. 
{ I }  |->  y )  e.  _V )
53, 4mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  e.  _V )
6 lmod1.m . . . . . 6  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) >. } )
76lmodvsca 14614 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  e.  _V  ->  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  =  ( .s `  M
) )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  =  ( .s `  M ) )
98eqcomd 2470 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( .s `  M )  =  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) )
10 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R ) )  /\  ( x  =  r  /\  y  =  I
) )  ->  y  =  I )
11 simp3 993 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  r  e.  ( Base `  R
) )
12 snidg 4048 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
13123ad2ant1 1012 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  I  e.  { I } )
149, 10, 11, 13, 13ovmpt2d 6407 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) I )  =  I )
15 snex 4683 . . . . . . 7  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V
166lmodplusg 14612 . . . . . . 7  |-  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M
) )
1715, 16mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M ) )
1817eqcomd 2470 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( +g  `  M )  =  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } )
1918oveqd 6294 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I ( +g  `  M
) I )  =  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )
20 df-ov 6280 . . . . 5  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
21 opex 4706 . . . . . 6  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
22 simp1 991 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  I  e.  V )
23 fvsng 6088 . . . . . 6  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
2421, 22, 23sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
2520, 24syl5eq 2515 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
2619, 25eqtrd 2503 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I ( +g  `  M
) I )  =  I )
2726oveq2d 6293 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) ( I ( +g  `  M
) I ) )  =  ( r ( .s `  M ) I ) )
282a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  { I }  e.  _V )
291, 28, 4sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  e.  _V )
3029, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  =  ( .s `  M ) )
3130eqcomd 2470 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( .s `  M )  =  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) )
3231, 10, 11, 13, 13ovmpt2d 6407 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) I )  =  I )
3332, 32oveq12d 6295 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( r ( .s
`  M ) I ) ( +g  `  M
) ( r ( .s `  M ) I ) )  =  ( I ( +g  `  M ) I ) )
3433, 26eqtrd 2503 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( r ( .s
`  M ) I ) ( +g  `  M
) ( r ( .s `  M ) I ) )  =  I )
3514, 27, 343eqtr4d 2513 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) ( I ( +g  `  M
) I ) )  =  ( ( r ( .s `  M
) I ) ( +g  `  M ) ( r ( .s
`  M ) I ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108    u. cun 3469   {csn 4022   {ctp 4026   <.cop 4028   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   ndxcnx 14478   Basecbs 14481   +g cplusg 14546  Scalarcsca 14549   .scvsca 14550   Ringcrg 16981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-plusg 14559  df-sca 14562  df-vsca 14563
This theorem is referenced by:  lmod1  32051
  Copyright terms: Public domain W3C validator