Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem lmod1lem2 33233
Description: Lemma 2 for lmod1 33237. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) >. } )
Assertion
Ref Expression
lmod1lem2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) ( I ( +g  `  M
) I ) )  =  ( ( r ( .s `  M
) I ) ( +g  `  M ) ( r ( .s
`  M ) I ) ) )
Distinct variable groups:    I, r, x, y    R, r, x, y    V, r, x, y
Allowed substitution hints:    M( x, y, r)

Proof of Theorem lmod1lem2
StepHypRef Expression
1 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
2 snex 4697 . . . . . . 7  |-  { I }  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  R )  e.  _V  /\  { I }  e.  _V )
4 mpt2exga 6875 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  { I }  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e. 
{ I }  |->  y )  e.  _V )
53, 4mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  e.  _V )
6 lmod1.m . . . . . 6  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) >. } )
76lmodvsca 14784 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  e.  _V  ->  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  =  ( .s `  M
) )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  =  ( .s `  M ) )
98eqcomd 2465 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( .s `  M )  =  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) )
10 simprr 757 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R ) )  /\  ( x  =  r  /\  y  =  I
) )  ->  y  =  I )
11 simp3 998 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  r  e.  ( Base `  R
) )
12 snidg 4058 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
13123ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  I  e.  { I } )
149, 10, 11, 13, 13ovmpt2d 6429 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) I )  =  I )
15 snex 4697 . . . . . . 7  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V
166lmodplusg 14782 . . . . . . 7  |-  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M
) )
1715, 16mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M ) )
1817eqcomd 2465 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( +g  `  M )  =  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } )
1918oveqd 6313 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I ( +g  `  M
) I )  =  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )
20 df-ov 6299 . . . . 5  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
21 opex 4720 . . . . . 6  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
22 simp1 996 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  I  e.  V )
23 fvsng 6106 . . . . . 6  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
2421, 22, 23sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
2520, 24syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
2619, 25eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I ( +g  `  M
) I )  =  I )
2726oveq2d 6312 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) ( I ( +g  `  M
) I ) )  =  ( r ( .s `  M ) I ) )
282a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  { I }  e.  _V )
291, 28, 4sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  e.  _V )
3029, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  =  ( .s `  M ) )
3130eqcomd 2465 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( .s `  M )  =  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) )
3231, 10, 11, 13, 13ovmpt2d 6429 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) I )  =  I )
3332, 32oveq12d 6314 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( r ( .s
`  M ) I ) ( +g  `  M
) ( r ( .s `  M ) I ) )  =  ( I ( +g  `  M ) I ) )
3433, 26eqtrd 2498 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( r ( .s
`  M ) I ) ( +g  `  M
) ( r ( .s `  M ) I ) )  =  I )
3514, 27, 343eqtr4d 2508 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) ( I ( +g  `  M
) I ) )  =  ( ( r ( .s `  M
) I ) ( +g  `  M ) ( r ( .s
`  M ) I ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    u. cun 3469   {csn 4032   {ctp 4036   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   ndxcnx 14641   Basecbs 14644   +g cplusg 14712  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   Ringcrg 17325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-sca 14728  df-vsca 14729
This theorem is referenced by:  lmod1  33237
  Copyright terms: Public domain W3C validator