Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lmod1lem2 40385
Description: Lemma 2 for lmod1 40389. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) >. } )
Assertion
Ref Expression
lmod1lem2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) ( I ( +g  `  M
) I ) )  =  ( ( r ( .s `  M
) I ) ( +g  `  M ) ( r ( .s
`  M ) I ) ) )
Distinct variable groups:    I, r, x, y    R, r, x, y    V, r, x, y
Allowed substitution hints:    M( x, y, r)

Proof of Theorem lmod1lem2
StepHypRef Expression
1 fvex 5880 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
2 snex 4644 . . . . . . 7  |-  { I }  e.  _V
31, 2pm3.2i 457 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  R )  e.  _V  /\  { I }  e.  _V )
4 mpt2exga 6874 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  { I }  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e. 
{ I }  |->  y )  e.  _V )
53, 4mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  e.  _V )
6 lmod1.m . . . . . 6  |-  M  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) >. } )
76lmodvsca 15277 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  e.  _V  ->  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  =  ( .s `  M
) )
85, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  =  ( .s `  M ) )
98eqcomd 2459 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( .s `  M )  =  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) )
10 simprr 767 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R ) )  /\  ( x  =  r  /\  y  =  I
) )  ->  y  =  I )
11 simp3 1011 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  r  e.  ( Base `  R
) )
12 snidg 3996 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
13123ad2ant1 1030 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  I  e.  { I } )
149, 10, 11, 13, 13ovmpt2d 6429 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) I )  =  I )
15 snex 4644 . . . . . . 7  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V
166lmodplusg 15275 . . . . . . 7  |-  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M
) )
1715, 16mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M ) )
1817eqcomd 2459 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( +g  `  M )  =  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } )
1918oveqd 6312 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I ( +g  `  M
) I )  =  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )
20 df-ov 6298 . . . . 5  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
21 opex 4667 . . . . . 6  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
22 simp1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  I  e.  V )
23 fvsng 6103 . . . . . 6  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
2421, 22, 23sylancr 670 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
2520, 24syl5eq 2499 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
2619, 25eqtrd 2487 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I ( +g  `  M
) I )  =  I )
2726oveq2d 6311 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) ( I ( +g  `  M
) I ) )  =  ( r ( .s `  M ) I ) )
282a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  { I }  e.  _V )
291, 28, 4sylancr 670 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  e.  _V )
3029, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y )  =  ( .s `  M ) )
3130eqcomd 2459 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( .s `  M )  =  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  { I }  |->  y ) )
3231, 10, 11, 13, 13ovmpt2d 6429 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) I )  =  I )
3332, 32oveq12d 6313 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( r ( .s
`  M ) I ) ( +g  `  M
) ( r ( .s `  M ) I ) )  =  ( I ( +g  `  M ) I ) )
3433, 26eqtrd 2487 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( r ( .s
`  M ) I ) ( +g  `  M
) ( r ( .s `  M ) I ) )  =  I )
3514, 27, 343eqtr4d 2497 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
r ( .s `  M ) ( I ( +g  `  M
) I ) )  =  ( ( r ( .s `  M
) I ) ( +g  `  M ) ( r ( .s
`  M ) I ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047    u. cun 3404   {csn 3970   {ctp 3974   <.cop 3976   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   ndxcnx 15130   Basecbs 15133   +g cplusg 15202  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206   Ringcrg 17792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-sca 15218  df-vsca 15219
This theorem is referenced by:  lmod1  40389
  Copyright terms: Public domain W3C validator