MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vrid Structured version   Unicode version

Theorem lmod0vrid 17085
Description: Right identity law for the zero vector. (ax-hvaddid 24541 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vlid.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
0vlid.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
0vlid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmod0vrid  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )

Proof of Theorem lmod0vrid
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17061 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 0vlid.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 0vlid.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
4 0vlid.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
52, 3, 4grprid 15671 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
61, 5sylan 471 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276   +g cplusg 14340   0gc0g 14480   Grpcgrp 15512   LModclmod 17054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-lmod 17056
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  17094  lssvscl  17142  lspfixed  17315  lsmcv  17328  lspsolvlem  17329  lspsolv  17330  lfl0  33016  lflmul  33019  lshpkrlem1  33061  lclkrlem2j  35467  lcfrlem7  35499  mapdh6dN  35690  hdmap1l6d  35765
  Copyright terms: Public domain W3C validator