MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vrid Structured version   Unicode version

Theorem lmod0vrid 17656
Description: Right identity law for the zero vector. (ax-hvaddid 26038 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vlid.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
0vlid.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
0vlid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmod0vrid  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )

Proof of Theorem lmod0vrid
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17632 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 0vlid.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 0vlid.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
4 0vlid.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
52, 3, 4grprid 16198 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
61, 5sylan 469 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   0gc0g 14847   Grpcgrp 16170   LModclmod 17625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-lmod 17627
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  17666  lssvscl  17714  lspfixed  17887  lsmcv  17900  lspsolvlem  17901  lspsolv  17902  lfl0  35203  lflmul  35206  lshpkrlem1  35248  lclkrlem2j  37656  lcfrlem7  37688  mapdh6dN  37879  hdmap1l6d  37954
  Copyright terms: Public domain W3C validator