MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vcl Structured version   Unicode version

Theorem lmod0vcl 17321
Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 25593 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
0vcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmod0vcl  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )

Proof of Theorem lmod0vcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17299 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 0vcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 0vcl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
42, 3grpidcl 15876 . 2  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  V )
51, 4syl 16 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586   Basecbs 14483   0gc0g 14688   Grpcgrp 15720   LModclmod 17292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-lmod 17294
This theorem is referenced by:  lmodvs0  17326  lsssn0  17374  lspun0  17437  lsppr0  17518  lspsneq  17548  lspprat  17579  ip0r  18436  ocvlss  18467  nmhmcn  21335  lcoel0  32102  lfl0  33862  lflmul  33865  lkrlss  33892  dochexmid  36265  lcfl8  36299  lcd0vcl  36411  mapdh6bN  36534  mapdh6cN  36535  hdmap1val0  36597  hdmap1l6b  36609  hdmap1l6c  36610  hdmapval0  36633  hdmaprnlem17N  36663  hdmap14lem13  36680  hdmaplkr  36713
  Copyright terms: Public domain W3C validator