MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vcl Structured version   Unicode version

Theorem lmod0vcl 17861
Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 26334 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
0vcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmod0vcl  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )

Proof of Theorem lmod0vcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17839 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 0vcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 0vcl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
42, 3grpidcl 16402 . 2  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  V )
51, 4syl 17 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569   Basecbs 14841   0gc0g 15054   Grpcgrp 16377   LModclmod 17832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-lmod 17834
This theorem is referenced by:  lmodvs0  17866  lsssn0  17914  lspun0  17977  lsppr0  18058  lspsneq  18088  lspprat  18119  ip0r  18970  ocvlss  19001  nmhmcn  21895  lfl0  32083  lflmul  32086  lkrlss  32113  dochexmid  34488  lcfl8  34522  lcd0vcl  34634  mapdh6bN  34757  mapdh6cN  34758  hdmap1val0  34820  hdmap1l6b  34832  hdmap1l6c  34833  hdmapval0  34856  hdmaprnlem17N  34886  hdmap14lem13  34903  hdmaplkr  34936  lcoel0  38540
  Copyright terms: Public domain W3C validator