MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0cl Structured version   Unicode version

Theorem lmod0cl 17733
Description: The ring zero in a left module belongs to the ring base set. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod0cl.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmod0cl.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmod0cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
Assertion
Ref Expression
lmod0cl  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  K )

Proof of Theorem lmod0cl
StepHypRef Expression
1 lmod0cl.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodring 17715 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
3 lmod0cl.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 lmod0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
53, 4ring0cl 17415 . 2  |-  ( F  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
62, 5syl 16 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570   Basecbs 14716  Scalarcsca 14787   0gc0g 14929   Ringcrg 17393   LModclmod 17707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-ring 17395  df-lmod 17709
This theorem is referenced by:  lss1d  17804  lspsolvlem  17983  iporthcom  18843  lincval1  33274  lcosn0  33275  lincvalsc0  33276  lcoc0  33277  linc1  33280  lcoss  33291  el0ldep  33321  lfl0f  35191  lfl1dim  35243  lfl1dim2N  35244  lkrss2N  35291  baerlem5blem1  37833  hdmap14lem2a  37994  hdmap14lem4a  37998  hdmap14lem6  38000  hgmapval0  38019  hgmapeq0  38031
  Copyright terms: Public domain W3C validator