MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0cl Structured version   Unicode version

Theorem lmod0cl 17082
Description: The ring zero in a left module belongs to the ring base set. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod0cl.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmod0cl.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmod0cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
Assertion
Ref Expression
lmod0cl  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  K )

Proof of Theorem lmod0cl
StepHypRef Expression
1 lmod0cl.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodrng 17064 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
3 lmod0cl.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 lmod0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
53, 4rng0cl 16774 . 2  |-  ( F  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
62, 5syl 16 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5518   Basecbs 14278  Scalarcsca 14345   0gc0g 14482   Ringcrg 16753   LModclmod 17056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-rng 16755  df-lmod 17058
This theorem is referenced by:  lss1d  17152  lspsolvlem  17331  iporthcom  18175  lincval1  31062  lcosn0  31063  lincvalsc0  31064  lcoc0  31065  linc1  31068  lcoss  31079  el0ldep  31109  lfl0f  33022  lfl1dim  33074  lfl1dim2N  33075  lkrss2N  33122  baerlem5blem1  35662  hdmap14lem2a  35823  hdmap14lem4a  35827  hdmap14lem6  35829  hgmapval0  35848  hgmapeq0  35860
  Copyright terms: Public domain W3C validator