Theorem lmnn 9213

Description: A condition that implies convergence.

Hypothesis

Ref	Expression
lmbr.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
lmnn	|- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (F:NN-->X /\ A.k e. NN ((F` k)DP) < (1 / k))) -> F(~~>m` D)P)

Distinct variable groups:   k,F   D,k   P,k   k,X

Proof of Theorem lmnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0 6800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> x =/= 0)
2		rereccl 6981	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ x =/= 0) -> (1 / x) e. RR)
3	1, 2	syldan 516	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> (1 / x) e. RR)
4		peano2re 6599	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 / x) e. RR -> ((1 / x) + 1) e. RR)
5	3, 4	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> ((1 / x) + 1) e. RR)
6		recgt0 7043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> 0 < (1 / x))
7		0re 6603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
8		ltle 6690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((0 e. RR /\ (1 / x) e. RR) -> (0 < (1 / x) -> 0 <_ (1 / x)))
9	7, 8	mpan 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((1 / x) e. RR -> (0 < (1 / x) -> 0 <_ (1 / x)))
10	3, 6, 9	sylc 83	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> 0 <_ (1 / x))
11		addge02 6862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((1 e. RR /\ (1 / x) e. RR) -> (0 <_ (1 / x) <-> 1 <_ ((1 / x) + 1)))
12		1re 6598	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
13	11, 12, 3	sylancr 526	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> (0 <_ (1 / x) <-> 1 <_ ((1 / x) + 1)))
14	10, 13	mpbid 212	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> 1 <_ ((1 / x) + 1))
15		flge1nn 7483	. . . . . . . . . . 11 |- ((((1 / x) + 1) e. RR /\ 1 <_ ((1 / x) + 1)) -> (|_` ((1 / x) + 1)) e. NN)
16	5, 14, 15	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> (|_` ((1 / x) + 1)) e. NN)
17	16	ad2antlr 441	. . . . . . . . 9 |- (((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ A.k e. NN ((F` k)DP) < (1 / k)) -> (|_` ((1 / x) + 1)) e. NN)
18		lmbr.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- X = dom dom D
19	18	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((D e. Met /\ (F` k) e. X /\ P e. X) -> ((F` k)DP) e. RR)
20	19	3com23 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((D e. Met /\ P e. X /\ (F` k) e. X) -> ((F` k)DP) e. RR)
21	20	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (F` k) e. X) -> ((F` k)DP) e. RR)
22		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F:NN-->X /\ k e. NN) -> (F` k) e. X)
23	21, 22	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (F:NN-->X /\ k e. NN)) -> ((F` k)DP) e. RR)
24	23	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ k e. NN) -> ((F` k)DP) e. RR)
25	24	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ k e. NN) -> ((F` k)DP) e. RR)
26	25	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ k e. NN) /\ (((F` k)DP) < (1 / k) /\ (|_` ((1 / x) + 1)) <_ k)) -> ((F` k)DP) e. RR)
27		nnrecre 7136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (k e. NN -> (1 / k) e. RR)
28	27	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ k e. NN) /\ (((F` k)DP) < (1 / k) /\ (|_` ((1 / x) + 1)) <_ k)) -> (1 / k) e. RR)
29		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> x e. RR)
30	29	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ k e. NN) /\ (((F` k)DP) < (1 / k) /\ (|_` ((1 / x) + 1)) <_ k)) -> x e. RR)
31		simprl 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ k e. NN) /\ (((F` k)DP) < (1 / k) /\ (|_` ((1 / x) + 1)) <_ k)) -> ((F` k)DP) < (1 / k))
32		flltp1 7469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((1 / x) e. RR -> (1 / x) < ((|_` (1 / x)) + 1))
33		1z 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. ZZ
34		fladdz 7484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((1 / x) e. RR /\ 1 e. ZZ) -> (|_` ((1 / x) + 1)) = ((|_` (1 / x)) + 1))
35	33, 34	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((1 / x) e. RR -> (|_` ((1 / x) + 1)) = ((|_` (1 / x)) + 1))
36	32, 35	breqtrrd 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((1 / x) e. RR -> (1 / x) < (|_` ((1 / x) + 1)))
37	36	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((1 / x) e. RR /\ k e. NN) -> (1 / x) < (|_` ((1 / x) + 1)))
38		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((1 / x) e. RR /\ k e. NN) -> (1 / x) e. RR)
39		reflcl 7466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((1 / x) + 1) e. RR -> (|_` ((1 / x) + 1)) e. RR)
40	4, 39	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((1 / x) e. RR -> (|_` ((1 / x) + 1)) e. RR)
41	40	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((1 / x) e. RR /\ k e. NN) -> (|_` ((1 / x) + 1)) e. RR)
42		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (k e. NN -> k e. RR)
43	42	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((1 / x) e. RR /\ k e. NN) -> k e. RR)
44		ltletr 6694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((1 / x) e. RR /\ (|_` ((1 / x) + 1)) e. RR /\ k e. RR) -> (((1 / x) < (|_` ((1 / x) + 1)) /\ (|_` ((1 / x) + 1)) <_ k) -> (1 / x) < k))
45	38, 41, 43, 44	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((1 / x) e. RR /\ k e. NN) -> (((1 / x) < (|_` ((1 / x) + 1)) /\ (|_` ((1 / x) + 1)) <_ k) -> (1 / x) < k))
46	37, 45	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((1 / x) e. RR /\ k e. NN) -> ((|_` ((1 / x) + 1)) <_ k -> (1 / x) < k))
47	46, 3	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ k e. NN) -> ((|_` ((1 / x) + 1)) <_ k -> (1 / x) < k))
48		ltrec1 7071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ (k e. RR /\ 0 < k)) -> ((1 / x) < k <-> (1 / k) < x))
49		nngt0 7129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (k e. NN -> 0 < k)
50	42, 49	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. NN -> (k e. RR /\ 0 < k))
51	48, 50	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ k e. NN) -> ((1 / x) < k <-> (1 / k) < x))
52	47, 51	sylibd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ k e. NN) -> ((|_` ((1 / x) + 1)) <_ k -> (1 / k) < x))
53		ltle 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((1 / k) e. RR /\ x e. RR) -> ((1 / k) < x -> (1 / k) <_ x))
54	53, 27	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((k e. NN /\ x e. RR) -> ((1 / k) < x -> (1 / k) <_ x))
55	54	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. RR /\ k e. NN) -> ((1 / k) < x -> (1 / k) <_ x))
56	55	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ k e. NN) -> ((1 / k) < x -> (1 / k) <_ x))
57	52, 56	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((x e. RR /\ 0 < x) /\ k e. NN) -> ((|_` ((1 / x) + 1)) <_ k -> (1 / k) <_ x))
58	57	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ k e. NN) -> ((|_` ((1 / x) + 1)) <_ k -> (1 / k) <_ x))
59	58	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ k e. NN) -> (((F` k)DP) < (1 / k) -> ((|_` ((1 / x) + 1)) <_ k -> (1 / k) <_ x)))
60	59	imp32 390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ k e. NN) /\ (((F` k)DP) < (1 / k) /\ (|_` ((1 / x) + 1)) <_ k)) -> (1 / k) <_ x)
61	26, 28, 30, 31, 60	ltletrd 6698	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ k e. NN) /\ (((F` k)DP) < (1 / k) /\ (|_` ((1 / x) + 1)) <_ k)) -> ((F` k)DP) < x)
62	61	exp32 408	. . . . . . . . . . 11 |- (((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ k e. NN) -> (((F` k)DP) < (1 / k) -> ((|_` ((1 / x) + 1)) <_ k -> ((F` k)DP) < x)))
63	62	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . 10 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> (A.k e. NN ((F` k)DP) < (1 / k) -> A.k e. NN ((|_` ((1 / x) + 1)) <_ k -> ((F` k)DP) < x)))
64	63	imp 377	. . . . . . . . 9 |- (((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ A.k e. NN ((F` k)DP) < (1 / k)) -> A.k e. NN ((|_` ((1 / x) + 1)) <_ k -> ((F` k)DP) < x))
65		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (j = (|_` ((1 / x) + 1)) -> (j <_ k <-> (|_` ((1 / x) + 1)) <_ k))
66	65	imbi1d 675	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (|_` ((1 / x) + 1)) -> ((j <_ k -> ((F` k)DP) < x) <-> ((|_` ((1 / x) + 1)) <_ k -> ((F` k)DP) < x)))
67	66	ralbidv 2123	. . . . . . . . . 10 |- (j = (|_` ((1 / x) + 1)) -> (A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k)DP) < x) <-> A.k e. NN ((|_` ((1 / x) + 1)) <_ k -> ((F` k)DP) < x)))
68	67	rcla4ev 2381	. . . . . . . . 9 |- (((|_` ((1 / x) + 1)) e. NN /\ A.k e. NN ((|_` ((1 / x) + 1)) <_ k -> ((F` k)DP) < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k)DP) < x))
69	17, 64, 68	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (((((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) /\ A.k e. NN ((F` k)DP) < (1 / k)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k)DP) < x))
70	69	exp31 407	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) -> ((x e. RR /\ 0 < x) -> (A.k e. NN ((F` k)DP) < (1 / k) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k)DP) < x))))
71	70	com23 36	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) -> (A.k e. NN ((F` k)DP) < (1 / k) -> ((x e. RR /\ 0 < x) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k)DP) < x))))
72	71	exp4a 409	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) -> (A.k e. NN ((F` k)DP) < (1 / k) -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k)DP) < x)))))
73	72	r19.21adv 2181	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) -> (A.k e. NN ((F` k)DP) < (1 / k) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k)DP) < x))))
74		simplr 449	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) -> P e. X)
75	73, 74	jctild 662	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) -> (A.k e. NN ((F` k)DP) < (1 / k) -> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k)DP) < x)))))
76		nnuz 7608	. . . . 5 |- NN = (ZZ>=` 1)
77	18, 33, 76	lmbrf 9208	. . . 4 |- ((D e. Met /\ P e. X /\ F:NN-->X) -> (F(~~>m` D)P <-> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k)DP) < x)))))
78	77	3expa 1067	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) -> (F(~~>m` D)P <-> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k)DP) < x)))))
79	75, 78	sylibrd 221	. 2 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ F:NN-->X) -> (A.k e. NN ((F` k)DP) < (1 / k) -> F(~~>m` D)P))
80	79	impr 422	1 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (F:NN-->X /\ A.k e. NN ((F` k)DP) < (1 / k))) -> F(~~>m` D)P)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  |_cfl 7462  Metcme 9066  ~~>mclm 9197

This theorem is referenced by:  metelcls 9243  metcnp4 9248

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-met 9070  df-lm 9200

Copyright terms: Public domain