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Theorem lmmo 20380
Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmo.1  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
lmmo.4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
lmmo.5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) B )
Assertion
Ref Expression
lmmo  |-  ( ph  ->  A  =  B )

Proof of Theorem lmmo
Dummy variables  j 
k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J
)  /\  ( A  e.  x  /\  B  e.  y ) )  <->  ( (
x  e.  J  /\  A  e.  x )  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y
) ) )
2 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  A  e.  x )
4 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  -> 
1  e.  ZZ )
5 lmmo.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
65adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
7 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  x  e.  J )
82, 3, 4, 6, 7lmcvg 20262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  x )
98ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  J  /\  A  e.  x )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  x ) )
10 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  ->  B  e.  y )
11 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  -> 
1  e.  ZZ )
12 lmmo.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) B )
1312adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) B )
14 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  -> 
y  e.  J )
152, 10, 11, 13, 14lmcvg 20262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  y )
1615ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  /\  B  e.  y )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  y ) )
179, 16anim12d 565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  J  /\  A  e.  x )  /\  (
y  e.  J  /\  B  e.  y )
)  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  x  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  y ) ) )
182rexanuz2 13398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  x  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  y ) )
19 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
20 uzid 11173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
21 ne0i 3767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  j )  =/=  (/) )
23 r19.2z 3886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k
)  e.  y ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k
)  e.  y ) )
24 elin 3649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y ) )
25 n0i 3766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )  e.  ( x  i^i  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
2624, 25sylbir 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
2726rexlimivw 2914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k
)  e.  y ) )  ->  -.  (
x  i^i  y )  =  (/) )
2922, 28sylan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y ) )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
3029rexlimiva 2913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
3118, 30sylbir 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  x  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y )  =  (/) )
3217, 31syl6 34 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  J  /\  A  e.  x )  /\  (
y  e.  J  /\  B  e.  y )
)  ->  -.  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
331, 32syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J )  /\  ( A  e.  x  /\  B  e.  y )
)  ->  -.  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
3433expdimp 438 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( ( A  e.  x  /\  B  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
35 imnan 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  x  /\  B  e.  y
)  ->  -.  (
x  i^i  y )  =  (/) )  <->  -.  (
( A  e.  x  /\  B  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
3634, 35sylib 199 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  -.  ( ( A  e.  x  /\  B  e.  y )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
37 df-3an 984 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  <->  ( ( A  e.  x  /\  B  e.  y )  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
3836, 37sylnibr 306 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  -.  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
3938anassrs 652 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  ->  -.  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4039nrexdv 2881 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  -.  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4140nrexdv 2881 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
42 lmmo.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
43 haustop 20331 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
4442, 43syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
45 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
4645toptopon 19932 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
4744, 46sylib 199 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
48 lmcl 20297 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F
( ~~> t `  J
) A )  ->  A  e.  U. J )
4947, 5, 48syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  U. J
)
50 lmcl 20297 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F
( ~~> t `  J
) B )  ->  B  e.  U. J )
5147, 12, 50syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U. J
)
5245hausnei 20328 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  ( A  e.  U. J  /\  B  e.  U. J  /\  A  =/=  B ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
53523exp2 1223 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( A  e.  U. J  -> 
( B  e.  U. J  ->  ( A  =/= 
B  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) ) ) )
5442, 49, 51, 53syl3c 63 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
5554necon1bd 2642 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  A  =  B ) )
5641, 55mpd 15 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776    i^i cin 3435   (/)c0 3761   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   ` cfv 5597   1c1 9540   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   Topctop 19901  TopOnctopon 19902   ~~> tclm 20226   Hauscha 20308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-z 10938  df-uz 11160  df-top 19905  df-topon 19907  df-lm 20229  df-haus 20315
This theorem is referenced by:  lmfun  20381  occllem  26939  nlelchi  27697  hmopidmchi  27787
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