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Theorem lmmo 20396
Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmo.1  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
lmmo.4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
lmmo.5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) B )
Assertion
Ref Expression
lmmo  |-  ( ph  ->  A  =  B )

Proof of Theorem lmmo
Dummy variables  j 
k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J
)  /\  ( A  e.  x  /\  B  e.  y ) )  <->  ( (
x  e.  J  /\  A  e.  x )  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y
) ) )
2 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 simprr 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  A  e.  x )
4 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  -> 
1  e.  ZZ )
5 lmmo.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
65adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
7 simprl 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  x  e.  J )
82, 3, 4, 6, 7lmcvg 20278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  x )
98ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  J  /\  A  e.  x )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  x ) )
10 simprr 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  ->  B  e.  y )
11 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  -> 
1  e.  ZZ )
12 lmmo.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) B )
1312adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) B )
14 simprl 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  -> 
y  e.  J )
152, 10, 11, 13, 14lmcvg 20278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  y )
1615ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  /\  B  e.  y )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  y ) )
179, 16anim12d 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  J  /\  A  e.  x )  /\  (
y  e.  J  /\  B  e.  y )
)  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  x  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  y ) ) )
182rexanuz2 13412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  x  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  y ) )
19 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
20 uzid 11173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
21 ne0i 3737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  j )  =/=  (/) )
23 r19.2z 3858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k
)  e.  y ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k
)  e.  y ) )
24 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y ) )
25 n0i 3736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )  e.  ( x  i^i  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
2624, 25sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
2726rexlimivw 2876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k
)  e.  y ) )  ->  -.  (
x  i^i  y )  =  (/) )
2922, 28sylan 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y ) )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
3029rexlimiva 2875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
3118, 30sylbir 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  x  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y )  =  (/) )
3217, 31syl6 34 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  J  /\  A  e.  x )  /\  (
y  e.  J  /\  B  e.  y )
)  ->  -.  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
331, 32syl5bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J )  /\  ( A  e.  x  /\  B  e.  y )
)  ->  -.  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
3433expdimp 439 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( ( A  e.  x  /\  B  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
35 imnan 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  x  /\  B  e.  y
)  ->  -.  (
x  i^i  y )  =  (/) )  <->  -.  (
( A  e.  x  /\  B  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
3634, 35sylib 200 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  -.  ( ( A  e.  x  /\  B  e.  y )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
37 df-3an 987 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  <->  ( ( A  e.  x  /\  B  e.  y )  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
3836, 37sylnibr 307 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  -.  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
3938anassrs 654 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  ->  -.  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4039nrexdv 2843 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  -.  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4140nrexdv 2843 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
42 lmmo.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
43 haustop 20347 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
4442, 43syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
45 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
4645toptopon 19948 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
4744, 46sylib 200 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
48 lmcl 20313 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F
( ~~> t `  J
) A )  ->  A  e.  U. J )
4947, 5, 48syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  U. J
)
50 lmcl 20313 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F
( ~~> t `  J
) B )  ->  B  e.  U. J )
5147, 12, 50syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U. J
)
5245hausnei 20344 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  ( A  e.  U. J  /\  B  e.  U. J  /\  A  =/=  B ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
53523exp2 1227 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( A  e.  U. J  -> 
( B  e.  U. J  ->  ( A  =/= 
B  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) ) ) )
5442, 49, 51, 53syl3c 63 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
5554necon1bd 2642 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  A  =  B ) )
5641, 55mpd 15 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    i^i cin 3403   (/)c0 3731   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   1c1 9540   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   ~~> tclm 20242   Hauscha 20324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-z 10938  df-uz 11160  df-top 19921  df-topon 19923  df-lm 20245  df-haus 20331
This theorem is referenced by:  lmfun  20397  occllem  26956  nlelchi  27714  hmopidmchi  27804
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