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Theorem lmmbrf 21569
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmmbr2 21566 presupposes that  F is a function. (Contributed by NM, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmmbr.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
lmmbr3.5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmmbr3.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmmbrf.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
lmmbrf.8  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
Assertion
Ref Expression
lmmbrf  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    P, j, k, x   
j, X, k, x   
x, J    j, M    ph, j, k, x    j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    A( x, j, k)    J( j, k)    M( x, k)

Proof of Theorem lmmbrf
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 lmmbrf.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
3 elfvdm 5898 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
4 cnex 9585 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
53, 4jctir 538 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )
)
6 lmmbr3.5 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
7 uzssz 11113 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
8 zsscn 10884 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  CC
97, 8sstri 3518 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
106, 9eqsstri 3539 . . . . . 6  |-  Z  C_  CC
1110jctr 542 . . . . 5  |-  ( F : Z --> X  -> 
( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
12 elpm2r 7448 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)
135, 11, 12syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : Z --> X )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
141, 2, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
1514biantrurd 508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) ) )
166uztrn2 11111 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
1716adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  Z )
18 lmmbrf.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
1918oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
) D P )  =  ( A D P ) )
2019breq1d 4463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k ) D P )  <  x  <->  ( A D P )  <  x
) )
2120adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) D P )  <  x  <->  ( A D P )  <  x ) )
22 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : Z --> X  ->  dom  F  =  Z )
232, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Z )
2423eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom  F  <-> 
k  e.  Z ) )
2524biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
262ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  X )
2725, 26jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X ) )
2827biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k ) D P )  <  x  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  ( ( F `
 k ) D P )  <  x
) ) )
29 df-3an 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) )
3028, 29syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k ) D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3130adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3221, 31bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( A D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3332anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( A D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3417, 33syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A D P )  < 
x  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3534ralbidva 2903 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A D P )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3635rexbidva 2975 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3736ralbidv 2906 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A D P )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3837anbi2d 703 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x )  <-> 
( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
39 lmmbr.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
40 lmmbr3.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4139, 1, 6, 40lmmbr3 21567 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
42 3anass 977 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) )
4341, 42syl6bb 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) ) )
4415, 38, 433bitr4rd 286 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^pm cpm 7433   CCcc 9502    < clt 9640   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   RR+crp 11232   *Metcxmt 18273   MetOpencmopn 18278   ~~> tclm 19595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-lm 19598
This theorem is referenced by:  lmnn  21570  h2hlm  25720  lmclim2  30178  heibor1lem  30232  rrncmslem  30255
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