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Theorem lmmbrf 20773
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmmbr2 20770 presupposes that  F is a function. (Contributed by NM, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmmbr.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
lmmbr3.5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmmbr3.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmmbrf.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
lmmbrf.8  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
Assertion
Ref Expression
lmmbrf  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    P, j, k, x   
j, X, k, x   
x, J    j, M    ph, j, k, x    j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    A( x, j, k)    J( j, k)    M( x, k)

Proof of Theorem lmmbrf
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 lmmbrf.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
3 elfvdm 5716 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
4 cnex 9363 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
53, 4jctir 538 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )
)
6 lmmbr3.5 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
7 uzssz 10880 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
8 zsscn 10654 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  CC
97, 8sstri 3365 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
106, 9eqsstri 3386 . . . . . 6  |-  Z  C_  CC
1110jctr 542 . . . . 5  |-  ( F : Z --> X  -> 
( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
12 elpm2r 7230 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)
135, 11, 12syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : Z --> X )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
141, 2, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
1514biantrurd 508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) ) )
166uztrn2 10878 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
1716adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  Z )
18 lmmbrf.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
1918oveq1d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
) D P )  =  ( A D P ) )
2019breq1d 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k ) D P )  <  x  <->  ( A D P )  <  x
) )
2120adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) D P )  <  x  <->  ( A D P )  <  x ) )
22 fdm 5563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : Z --> X  ->  dom  F  =  Z )
232, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Z )
2423eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom  F  <-> 
k  e.  Z ) )
2524biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
262ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  X )
2725, 26jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X ) )
2827biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k ) D P )  <  x  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  ( ( F `
 k ) D P )  <  x
) ) )
29 df-3an 967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) )
3028, 29syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k ) D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3130adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3221, 31bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( A D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3332anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( A D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3417, 33syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A D P )  < 
x  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3534ralbidva 2731 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A D P )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3635rexbidva 2732 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3736ralbidv 2735 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A D P )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3837anbi2d 703 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x )  <-> 
( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
39 lmmbr.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
40 lmmbr3.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4139, 1, 6, 40lmmbr3 20771 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
42 3anass 969 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) )
4341, 42syl6bb 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) ) )
4415, 38, 433bitr4rd 286 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^pm cpm 7215   CCcc 9280    < clt 9418   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   *Metcxmt 17801   MetOpencmopn 17806   ~~> tclm 18830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-lm 18833
This theorem is referenced by:  lmnn  20774  h2hlm  24382  lmclim2  28654  heibor1lem  28708  rrncmslem  28731
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