MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbr3 Structured version   Unicode version

Theorem lmmbr3 21431
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmmbr.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
lmmbr3.5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmmbr3.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmmbr3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    P, j, k, x   
j, X, k, x   
x, J    j, M    ph, j, k, x    j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    J( j, k)    M( x, k)

Proof of Theorem lmmbr3
StepHypRef Expression
1 lmmbr.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 lmmbr.3 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
31, 2lmmbr2 21430 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
4 lmmbr3.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5 lmmbr3.5 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
65rexuz3 13137 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
87ralbidv 2903 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
983anbi3d 1305 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
103, 9bitr4d 256 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^pm cpm 7418   CCcc 9486    < clt 9624   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   *Metcxmt 18171   MetOpencmopn 18176   ~~> tclm 19490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-topgen 14692  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-lm 19493
This theorem is referenced by:  lmmcvg  21432  lmmbrf  21433  cmetcaulem  21459  lmclim  21473
  Copyright terms: Public domain W3C validator