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Theorem lmmbr 21448
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition  F  C_  ( CC  X.  X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 19512. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmmbr.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
Assertion
Ref Expression
lmmbr  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, F, y    x, P, y    x, X, y   
x, J, y    ph, x
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem lmmbr
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 lmmbr.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
32mopntopon 20693 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
54lmbr 19541 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
6 rpxr 11226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
72blopn 20754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) x )  e.  J )
86, 7syl3an3 1263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  D ) x )  e.  J )
9 blcntr 20667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) x ) )
10 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( P (
ball `  D )
x )  ->  ( P  e.  u  <->  P  e.  ( P ( ball `  D
) x ) ) )
11 feq3 5714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( P (
ball `  D )
x )  ->  (
( F  |`  y
) : y --> u  <-> 
( F  |`  y
) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
1211rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( P (
ball `  D )
x )  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u  <->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
1310, 12imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( P (
ball `  D )
x )  ->  (
( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <-> 
( P  e.  ( P ( ball `  D
) x )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
1413rspcva 3212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P ( ball `  D ) x )  e.  J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  ->  ( P  e.  ( P ( ball `  D ) x )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
1514impancom 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P ( ball `  D ) x )  e.  J  /\  P  e.  ( P ( ball `  D ) x ) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
168, 9, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
17163expa 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
1817adantlrl 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
1918impancom 440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  ->  ( x  e.  RR+  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
2019ralrimiv 2876 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e. 
ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )
212mopni2 20747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  J  /\  P  e.  u
)  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  u
)
22 r19.29 2997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  E. x  e.  RR+  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  /\  ( P (
ball `  D )
x )  C_  u
) )
23 fss 5738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  |`  y
) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  ( F  |`  y ) : y --> u )
2423expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  u  ->  ( ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  ->  ( F  |`  y ) : y --> u ) )
2524reximdv 2937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  u  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )
2625impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )
2726rexlimivw 2952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  RR+  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )
2822, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )
2921, 28sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  u  e.  J  /\  P  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )
30293exp2 1214 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
u  e.  J  -> 
( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
3130impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) )  ->  ( u  e.  J  ->  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
3231adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  ->  ( u  e.  J  ->  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
3332ralrimiv 2876 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )
3420, 33impbida 830 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
3534pm5.32da 641 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
36 df-3an 975 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
37 df-3an 975 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e. 
ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
3835, 36, 373bitr4g 288 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
391, 38syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
405, 39bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ran crn 5000    |` cres 5001   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    ^pm cpm 7421   CCcc 9489   RR*cxr 9626   ZZ>=cuz 11081   RR+crp 11219   *Metcxmt 18190   ballcbl 18192   MetOpencmopn 18195  TopOnctopon 19178   ~~> tclm 19509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-topgen 14698  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-lm 19512
This theorem is referenced by:  lmmbr2  21449  lmcau  21502
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