Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlimxrge0 Structured version   Unicode version

Theorem lmlimxrge0 28091
Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlimxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
lmlimxrge0.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
lmlimxrge0.p  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
lmlimxrge0.x  |-  X  C_  ( 0 [,) +oo )
Assertion
Ref Expression
lmlimxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )

Proof of Theorem lmlimxrge0
StepHypRef Expression
1 lmlimxrge0.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 xrge0topn 28086 . . . 4  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
31, 2eqtri 2486 . . 3  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
4 letopon 19833 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
5 iccssxr 11632 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
6 resttopon 19789 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  (
0 [,] +oo )
) )
74, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
83, 7eqeltri 2541 . 2  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
9 lmlimxrge0.f . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
10 lmlimxrge0.p . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
11 fvex 5882 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  e.  _V
12 lmlimxrge0.x . . . . 5  |-  X  C_  ( 0 [,) +oo )
13 icossicc 11636 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
1412, 13sstri 3508 . . . 4  |-  X  C_  ( 0 [,] +oo )
15 ovex 6324 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
16 restabs 19793 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
_V  /\  X  C_  (
0 [,] +oo )  /\  ( 0 [,] +oo )  e.  _V )  ->  ( ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X ) )
1711, 14, 15, 16mp3an 1324 . . 3  |-  ( ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X )
183oveq1i 6306 . . 3  |-  ( Jt  X )  =  ( ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )t  X )
19 rge0ssre 11653 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
2012, 19sstri 3508 . . . 4  |-  X  C_  RR
21 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
22 eqid 2457 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
2321, 22xrrest2 21439 . . . 4  |-  ( X 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X ) )
2420, 23ax-mp 5 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X )
2517, 18, 243eqtr4i 2496 . 2  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
26 ax-resscn 9566 . . 3  |-  RR  C_  CC
2720, 26sstri 3508 . 2  |-  X  C_  CC
288, 9, 10, 25, 27lmlim 28090 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    <_ cle 9646   NNcn 10556   [,)cico 11556   [,]cicc 11557    ~~> cli 13319   ↾s cress 14645   ↾t crest 14838   TopOpenctopn 14839  ordTopcordt 14916   RR*scxrs 14917  ℂfldccnfld 18547  TopOnctopon 19522   ~~> tclm 19854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-rest 14840  df-topn 14841  df-topgen 14861  df-ordt 14918  df-xrs 14919  df-ps 15957  df-tsr 15958  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-lm 19857  df-xms 20949  df-ms 20950
This theorem is referenced by:  esumcvg  28258  dstfrvclim1  28613
  Copyright terms: Public domain W3C validator