Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlimxrge0 Structured version   Unicode version

Theorem lmlimxrge0 26330
Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlimxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
lmlimxrge0.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
lmlimxrge0.p  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
lmlimxrge0.x  |-  X  C_  ( 0 [,) +oo )
Assertion
Ref Expression
lmlimxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )

Proof of Theorem lmlimxrge0
StepHypRef Expression
1 lmlimxrge0.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 xrge0topn 26325 . . . 4  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
31, 2eqtri 2458 . . 3  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
4 letopon 18784 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
5 iccssxr 11370 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
6 resttopon 18740 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  (
0 [,] +oo )
) )
74, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
83, 7eqeltri 2508 . 2  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
9 lmlimxrge0.f . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
10 lmlimxrge0.p . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
114elexi 2977 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  e.  _V
12 lmlimxrge0.x . . . . 5  |-  X  C_  ( 0 [,) +oo )
13 icossicc 26009 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
1412, 13sstri 3360 . . . 4  |-  X  C_  ( 0 [,] +oo )
15 ovex 6111 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
16 restabs 18744 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
_V  /\  X  C_  (
0 [,] +oo )  /\  ( 0 [,] +oo )  e.  _V )  ->  ( ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X ) )
1711, 14, 15, 16mp3an 1314 . . 3  |-  ( ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X )
183oveq1i 6096 . . 3  |-  ( Jt  X )  =  ( ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )t  X )
19 rge0ssre 11385 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
2012, 19sstri 3360 . . . 4  |-  X  C_  RR
21 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
22 eqid 2438 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
2321, 22xrrest2 20360 . . . 4  |-  ( X 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X ) )
2420, 23ax-mp 5 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X )
2517, 18, 243eqtr4i 2468 . 2  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
26 ax-resscn 9331 . . 3  |-  RR  C_  CC
2720, 26sstri 3360 . 2  |-  X  C_  CC
288, 9, 10, 25, 27lmlim 26329 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   +oocpnf 9407   RR*cxr 9409    <_ cle 9411   NNcn 10314   [,)cico 11294   [,]cicc 11295    ~~> cli 12954   ↾s cress 14167   ↾t crest 14351   TopOpenctopn 14352  ordTopcordt 14429   RR*scxrs 14430  ℂfldccnfld 17793  TopOnctopon 18474   ~~> tclm 18805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-rest 14353  df-topn 14354  df-topgen 14374  df-ordt 14431  df-xrs 14432  df-ps 15362  df-tsr 15363  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-lm 18808  df-xms 19870  df-ms 19871
This theorem is referenced by:  esumcvg  26487  dstfrvclim1  26812
  Copyright terms: Public domain W3C validator