Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlimxrge0 Structured version   Unicode version

Theorem lmlimxrge0 26522
Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlimxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
lmlimxrge0.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
lmlimxrge0.p  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
lmlimxrge0.x  |-  X  C_  ( 0 [,) +oo )
Assertion
Ref Expression
lmlimxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )

Proof of Theorem lmlimxrge0
StepHypRef Expression
1 lmlimxrge0.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 xrge0topn 26517 . . . 4  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
31, 2eqtri 2483 . . 3  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
4 letopon 18940 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
5 iccssxr 11488 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
6 resttopon 18896 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  (
0 [,] +oo )
) )
74, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
83, 7eqeltri 2538 . 2  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
9 lmlimxrge0.f . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
10 lmlimxrge0.p . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
114elexi 3086 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  e.  _V
12 lmlimxrge0.x . . . . 5  |-  X  C_  ( 0 [,) +oo )
13 icossicc 11492 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
1412, 13sstri 3472 . . . 4  |-  X  C_  ( 0 [,] +oo )
15 ovex 6224 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
16 restabs 18900 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
_V  /\  X  C_  (
0 [,] +oo )  /\  ( 0 [,] +oo )  e.  _V )  ->  ( ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X ) )
1711, 14, 15, 16mp3an 1315 . . 3  |-  ( ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X )
183oveq1i 6209 . . 3  |-  ( Jt  X )  =  ( ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )t  X )
19 rge0ssre 11509 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
2012, 19sstri 3472 . . . 4  |-  X  C_  RR
21 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
22 eqid 2454 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
2321, 22xrrest2 20516 . . . 4  |-  ( X 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X ) )
2420, 23ax-mp 5 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X )
2517, 18, 243eqtr4i 2493 . 2  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
26 ax-resscn 9449 . . 3  |-  RR  C_  CC
2720, 26sstri 3472 . 2  |-  X  C_  CC
288, 9, 10, 25, 27lmlim 26521 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3076    C_ wss 3435   class class class wbr 4399   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   +oocpnf 9525   RR*cxr 9527    <_ cle 9529   NNcn 10432   [,)cico 11412   [,]cicc 11413    ~~> cli 13079   ↾s cress 14292   ↾t crest 14477   TopOpenctopn 14478  ordTopcordt 14555   RR*scxrs 14556  ℂfldccnfld 17942  TopOnctopon 18630   ~~> tclm 18961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fi 7771  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-seq 11923  df-exp 11982  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-rest 14479  df-topn 14480  df-topgen 14500  df-ordt 14557  df-xrs 14558  df-ps 15488  df-tsr 15489  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-lm 18964  df-xms 20026  df-ms 20027
This theorem is referenced by:  esumcvg  26679  dstfrvclim1  27003
  Copyright terms: Public domain W3C validator