Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlimxrge0 Structured version   Unicode version

Theorem lmlimxrge0 27566
Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlimxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
lmlimxrge0.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
lmlimxrge0.p  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
lmlimxrge0.x  |-  X  C_  ( 0 [,) +oo )
Assertion
Ref Expression
lmlimxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )

Proof of Theorem lmlimxrge0
StepHypRef Expression
1 lmlimxrge0.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 xrge0topn 27561 . . . 4  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
31, 2eqtri 2496 . . 3  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
4 letopon 19472 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
5 iccssxr 11603 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
6 resttopon 19428 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  (
0 [,] +oo )
) )
74, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
83, 7eqeltri 2551 . 2  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
9 lmlimxrge0.f . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
10 lmlimxrge0.p . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
114elexi 3123 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  e.  _V
12 lmlimxrge0.x . . . . 5  |-  X  C_  ( 0 [,) +oo )
13 icossicc 11607 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
1412, 13sstri 3513 . . . 4  |-  X  C_  ( 0 [,] +oo )
15 ovex 6307 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
16 restabs 19432 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
_V  /\  X  C_  (
0 [,] +oo )  /\  ( 0 [,] +oo )  e.  _V )  ->  ( ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X ) )
1711, 14, 15, 16mp3an 1324 . . 3  |-  ( ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X )
183oveq1i 6292 . . 3  |-  ( Jt  X )  =  ( ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )t  X )
19 rge0ssre 11624 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
2012, 19sstri 3513 . . . 4  |-  X  C_  RR
21 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
22 eqid 2467 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
2321, 22xrrest2 21048 . . . 4  |-  ( X 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X ) )
2420, 23ax-mp 5 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( (ordTop `  <_  )t  X )
2517, 18, 243eqtr4i 2506 . 2  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
26 ax-resscn 9545 . . 3  |-  RR  C_  CC
2720, 26sstri 3513 . 2  |-  X  C_  CC
288, 9, 10, 25, 27lmlim 27565 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    <_ cle 9625   NNcn 10532   [,)cico 11527   [,]cicc 11528    ~~> cli 13266   ↾s cress 14487   ↾t crest 14672   TopOpenctopn 14673  ordTopcordt 14750   RR*scxrs 14751  ℂfldccnfld 18191  TopOnctopon 19162   ~~> tclm 19493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-rest 14674  df-topn 14675  df-topgen 14695  df-ordt 14752  df-xrs 14753  df-ps 15683  df-tsr 15684  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-lm 19496  df-xms 20558  df-ms 20559
This theorem is referenced by:  esumcvg  27732  dstfrvclim1  28056
  Copyright terms: Public domain W3C validator