Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlim Structured version   Unicode version

Theorem lmlim 26377
Description: Relate a limit in a given topology to a complex number limit, provided that topology agrees with the common topology on  CC on the required subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlim.j  |-  J  e.  (TopOn `  Y )
lmlim.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
lmlim.p  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
lmlim.t  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
lmlim.x  |-  X  C_  CC
Assertion
Ref Expression
lmlim  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )

Proof of Theorem lmlim
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( Jt  X )  =  ( Jt  X )
2 nnuz 10896 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 cnex 9363 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
5 lmlim.x . . . . 5  |-  X  C_  CC
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
74, 6ssexd 4439 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
8 lmlim.j . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  Y )
98topontopi 18536 . . . 4  |-  J  e. 
Top
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
11 lmlim.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
12 1z 10676 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 lmlim.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
151, 2, 7, 10, 11, 13, 14lmss 18902 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  ( Jt  X
) ) P ) )
16 lmlim.t . . . . 5  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
1716fveq2i 5694 . . . 4  |-  ( ~~> t `  ( Jt  X ) )  =  ( ~~> t `  (
( TopOpen ` fld )t  X ) )
1817breqi 4298 . . 3  |-  ( F ( ~~> t `  ( Jt  X ) ) P  <-> 
F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P )
1918a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( Jt  X ) ) P  <-> 
F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P ) )
20 eqid 2443 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  X )
21 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtop 20363 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
2420, 2, 7, 23, 11, 13, 14lmss 18902 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld ) ) P  <->  F ( ~~> t `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
X ) ) P ) )
25 fss 5567 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> X  /\  X  C_  CC )  ->  F : NN --> CC )
2614, 5, 25sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
2721, 2lmclimf 20814 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  F : NN --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld )
) P  <->  F  ~~>  P ) )
2812, 26, 27sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld ) ) P  <->  F  ~~>  P ) )
2924, 28bitr3d 255 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P  <-> 
F  ~~>  P ) )
3015, 19, 293bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   class class class wbr 4292   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   1c1 9283   NNcn 10322   ZZcz 10646    ~~> cli 12962   ↾t crest 14359   TopOpenctopn 14360  ℂfldccnfld 17818   Topctop 18498  TopOnctopon 18499   ~~> tclm 18830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-rest 14361  df-topn 14362  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-lm 18833  df-xms 19895  df-ms 19896
This theorem is referenced by:  lmlimxrge0  26378
  Copyright terms: Public domain W3C validator