Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlim Unicode version

Theorem lmlim 23386
Description: Relate a limit in a given topology to a complex number limit, provided that topology agrees with the common topology on  CC on the required subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlim.j  |-  J  e.  (TopOn `  Y )
lmlim.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
lmlim.p  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
lmlim.t  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
lmlim.x  |-  X  C_  CC
Assertion
Ref Expression
lmlim  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )

Proof of Theorem lmlim
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  ( Jt  X )  =  ( Jt  X )
2 nnuz 10279 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 lmlim.x . . . . 5  |-  X  C_  CC
43a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
5 cnex 8834 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
65a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
7 ssexg 4176 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
84, 6, 7syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
9 lmlim.j . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  Y )
109topontopi 16685 . . . 4  |-  J  e. 
Top
1110a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
12 lmlim.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
13 1z 10069 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1413a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
15 lmlim.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
161, 2, 8, 11, 12, 14, 15lmss 17042 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  ( Jt  X
) ) P ) )
17 lmlim.t . . . . 5  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
1817fveq2i 5544 . . . 4  |-  ( ~~> t `  ( Jt  X ) )  =  ( ~~> t `  (
( TopOpen ` fld )t  X ) )
1918breqi 4045 . . 3  |-  ( F ( ~~> t `  ( Jt  X ) ) P  <-> 
F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P )
2019a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( Jt  X ) ) P  <-> 
F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P ) )
21 eqid 2296 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  X )
22 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2322cnfldtop 18309 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
2423a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
2521, 2, 8, 24, 12, 14, 15lmss 17042 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld ) ) P  <->  F ( ~~> t `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
X ) ) P ) )
26 fss 5413 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> X  /\  X  C_  CC )  ->  F : NN --> CC )
2715, 3, 26sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
2822, 2lmclimf 18745 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  F : NN --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld )
) P  <->  F  ~~>  P ) )
2914, 27, 28syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld ) ) P  <->  F  ~~>  P ) )
3025, 29bitr3d 246 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P  <-> 
F  ~~>  P ) )
3116, 20, 303bitrd 270 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   1c1 8754   NNcn 9762   ZZcz 10040    ~~> cli 11974   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   ~~> tclm 16972
This theorem is referenced by:  lmlimxrge0  23387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-lm 16975  df-xms 17901  df-ms 17902
  Copyright terms: Public domain W3C validator