Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlim Structured version   Unicode version

Theorem lmlim 27680
Description: Relate a limit in a given topology to a complex number limit, provided that topology agrees with the common topology on  CC on the required subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlim.j  |-  J  e.  (TopOn `  Y )
lmlim.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
lmlim.p  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
lmlim.t  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
lmlim.x  |-  X  C_  CC
Assertion
Ref Expression
lmlim  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )

Proof of Theorem lmlim
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( Jt  X )  =  ( Jt  X )
2 nnuz 11118 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 cnex 9574 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
5 lmlim.x . . . . 5  |-  X  C_  CC
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
74, 6ssexd 4594 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
8 lmlim.j . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  Y )
98topontopi 19239 . . . 4  |-  J  e. 
Top
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
11 lmlim.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
12 1z 10895 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 lmlim.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
151, 2, 7, 10, 11, 13, 14lmss 19605 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  ( Jt  X
) ) P ) )
16 lmlim.t . . . . 5  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
1716fveq2i 5869 . . . 4  |-  ( ~~> t `  ( Jt  X ) )  =  ( ~~> t `  (
( TopOpen ` fld )t  X ) )
1817breqi 4453 . . 3  |-  ( F ( ~~> t `  ( Jt  X ) ) P  <-> 
F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P )
1918a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( Jt  X ) ) P  <-> 
F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P ) )
20 eqid 2467 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  X )
21 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtop 21118 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
2420, 2, 7, 23, 11, 13, 14lmss 19605 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld ) ) P  <->  F ( ~~> t `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
X ) ) P ) )
25 fss 5739 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> X  /\  X  C_  CC )  ->  F : NN --> CC )
2614, 5, 25sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
2721, 2lmclimf 21569 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  F : NN --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld )
) P  <->  F  ~~>  P ) )
2812, 26, 27sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld ) ) P  <->  F  ~~>  P ) )
2924, 28bitr3d 255 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P  <-> 
F  ~~>  P ) )
3015, 19, 293bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   1c1 9494   NNcn 10537   ZZcz 10865    ~~> cli 13273   ↾t crest 14679   TopOpenctopn 14680  ℂfldccnfld 18231   Topctop 19201  TopOnctopon 19202   ~~> tclm 19533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fi 7872  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-fz 11674  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-rest 14681  df-topn 14682  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-lm 19536  df-xms 20650  df-ms 20651
This theorem is referenced by:  lmlimxrge0  27681
  Copyright terms: Public domain W3C validator