Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlim Structured version   Unicode version

Theorem lmlim 28592
Description: Relate a limit in a given topology to a complex number limit, provided that topology agrees with the common topology on  CC on the required subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlim.j  |-  J  e.  (TopOn `  Y )
lmlim.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
lmlim.p  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
lmlim.t  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
lmlim.x  |-  X  C_  CC
Assertion
Ref Expression
lmlim  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )

Proof of Theorem lmlim
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3  |-  ( Jt  X )  =  ( Jt  X )
2 nnuz 11194 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 cnex 9619 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
5 lmlim.x . . . . 5  |-  X  C_  CC
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
74, 6ssexd 4572 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
8 lmlim.j . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  Y )
98topontopi 19877 . . . 4  |-  J  e. 
Top
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
11 lmlim.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
12 1z 10967 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 lmlim.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
151, 2, 7, 10, 11, 13, 14lmss 20245 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  ( Jt  X
) ) P ) )
16 lmlim.t . . . . 5  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
1716fveq2i 5884 . . . 4  |-  ( ~~> t `  ( Jt  X ) )  =  ( ~~> t `  (
( TopOpen ` fld )t  X ) )
1817breqi 4432 . . 3  |-  ( F ( ~~> t `  ( Jt  X ) ) P  <-> 
F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P )
1918a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( Jt  X ) ) P  <-> 
F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P ) )
20 eqid 2429 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  X )
21 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtop 21715 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
2420, 2, 7, 23, 11, 13, 14lmss 20245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld ) ) P  <->  F ( ~~> t `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
X ) ) P ) )
25 fss 5754 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> X  /\  X  C_  CC )  ->  F : NN --> CC )
2614, 5, 25sylancl 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
2721, 2lmclimf 22166 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  F : NN --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld )
) P  <->  F  ~~>  P ) )
2812, 26, 27sylancr 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld ) ) P  <->  F  ~~>  P ) )
2924, 28bitr3d 258 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P  <-> 
F  ~~>  P ) )
3015, 19, 293bitrd 282 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   1c1 9539   NNcn 10609   ZZcz 10937    ~~> cli 13526   ↾t crest 15278   TopOpenctopn 15279  ℂfldccnfld 18905   Topctop 19848  TopOnctopon 19849   ~~> tclm 20173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-rest 15280  df-topn 15281  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-lm 20176  df-xms 21266  df-ms 21267
This theorem is referenced by:  lmlimxrge0  28593
  Copyright terms: Public domain W3C validator