Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlim Structured version   Unicode version

Theorem lmlim 28592
 Description: Relate a limit in a given topology to a complex number limit, provided that topology agrees with the common topology on on the required subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlim.j TopOn
lmlim.f
lmlim.p
lmlim.t t fldt
lmlim.x
Assertion
Ref Expression
lmlim

Proof of Theorem lmlim
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3 t t
2 nnuz 11194 . . 3
3 cnex 9619 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4
5 lmlim.x . . . . 5
65a1i 11 . . . 4
74, 6ssexd 4572 . . 3
8 lmlim.j . . . . 5 TopOn
98topontopi 19877 . . . 4
109a1i 11 . . 3
11 lmlim.p . . 3
12 1z 10967 . . . 4
1312a1i 11 . . 3
14 lmlim.f . . 3
151, 2, 7, 10, 11, 13, 14lmss 20245 . 2 t
16 lmlim.t . . . . 5 t fldt
1716fveq2i 5884 . . . 4 t fldt
1817breqi 4432 . . 3 t fldt
1918a1i 11 . 2 t fldt
20 eqid 2429 . . . 4 fldt fldt
21 eqid 2429 . . . . . 6 fld fld
2221cnfldtop 21715 . . . . 5 fld
2322a1i 11 . . . 4 fld
2420, 2, 7, 23, 11, 13, 14lmss 20245 . . 3 fld fldt
25 fss 5754 . . . . 5
2614, 5, 25sylancl 666 . . . 4
2721, 2lmclimf 22166 . . . 4 fld
2812, 26, 27sylancr 667 . . 3 fld
2924, 28bitr3d 258 . 2 fldt
3015, 19, 293bitrd 282 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087   wss 3442   class class class wbr 4426  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  c1 9539  cn 10609  cz 10937   cli 13526   ↾t crest 15278  ctopn 15279  ℂfldccnfld 18905  ctop 19848  TopOnctopon 19849  clm 20173 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-rest 15280  df-topn 15281  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-lm 20176  df-xms 21266  df-ms 21267 This theorem is referenced by:  lmlimxrge0  28593
 Copyright terms: Public domain W3C validator