Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmimid Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lmimid 24848
 Description: If we have a right angle, then the mirror point is the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p
ismid.d
ismid.i Itv
ismid.g TarskiG
ismid.1 DimTarskiG
lmif.m lInvG
lmif.l LineG
lmif.d
lmicl.1
lmimid.s pInvG
lmimid.r ∟G
lmimid.a
lmimid.b
lmimid.c
lmimid.d
Assertion
Ref Expression
lmimid

Proof of Theorem lmimid
StepHypRef Expression
1 lmimid.s . . . . . . 7 pInvG
21a1i 11 . . . . . 6 pInvG
32fveq1d 5872 . . . . 5 pInvG
4 ismid.p . . . . . 6
5 ismid.d . . . . . 6
6 ismid.i . . . . . 6 Itv
7 ismid.g . . . . . 6 TarskiG
8 ismid.1 . . . . . 6 DimTarskiG
9 lmimid.c . . . . . 6
10 lmif.l . . . . . . 7 LineG
11 eqid 2453 . . . . . . 7 pInvG pInvG
12 lmif.d . . . . . . . 8
13 lmimid.b . . . . . . . 8
144, 10, 6, 7, 12, 13tglnpt 24606 . . . . . . 7
154, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mircl 24718 . . . . . 6
164, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 14ismidb 24832 . . . . 5 pInvG midG
173, 16mpbid 214 . . . 4 midG
1817, 13eqeltrd 2531 . . 3 midG
19 df-ne 2626 . . . . . 6
207adantr 467 . . . . . . . 8 TarskiG
2112adantr 467 . . . . . . . 8
229adantr 467 . . . . . . . . 9
2315adantr 467 . . . . . . . . 9
24 simpr 463 . . . . . . . . 9
254, 6, 10, 20, 22, 23, 24tgelrnln 24687 . . . . . . . 8
2613adantr 467 . . . . . . . . 9
2714adantr 467 . . . . . . . . . 10
284, 5, 6, 7, 8, 9, 15midbtwn 24833 . . . . . . . . . . . 12 midG
2917, 28eqeltrrd 2532 . . . . . . . . . . 11
3029adantr 467 . . . . . . . . . 10
314, 6, 10, 20, 22, 23, 27, 24, 30btwnlng1 24676 . . . . . . . . 9
3226, 31elind 3620 . . . . . . . 8
33 lmimid.a . . . . . . . . 9
3433adantr 467 . . . . . . . 8
354, 6, 10, 20, 22, 23, 24tglinerflx1 24690 . . . . . . . 8
36 lmimid.d . . . . . . . . 9
3736adantr 467 . . . . . . . 8
384, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mirinv 24723 . . . . . . . . . . . . . 14
39 eqcom 2460 . . . . . . . . . . . . . 14
4038, 39syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . 13
4140biimpar 488 . . . . . . . . . . . 12
4241eqcomd 2459 . . . . . . . . . . 11
4342ex 436 . . . . . . . . . 10
4443necon3d 2647 . . . . . . . . 9
4544imp 431 . . . . . . . 8
46 lmimid.r . . . . . . . . 9 ∟G
4746adantr 467 . . . . . . . 8 ∟G
484, 5, 6, 10, 20, 21, 25, 32, 34, 35, 37, 45, 47ragperp 24774 . . . . . . 7 ⟂G
4948ex 436 . . . . . 6 ⟂G
5019, 49syl5bir 222 . . . . 5 ⟂G
5150orrd 380 . . . 4 ⟂G
5251orcomd 390 . . 3 ⟂G
53 lmif.m . . . 4 lInvG
544, 5, 6, 7, 8, 53, 10, 12, 9, 15islmib 24841 . . 3 midG ⟂G
5518, 52, 54mpbir2and 934 . 2
5655eqcomd 2459 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 370   wa 371   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624   class class class wbr 4405   crn 4838  cfv 5585  (class class class)co 6295  c2 10666  cs3 12945  cbs 15133  cds 15211  TarskiGcstrkg 24490  DimTarskiG≥cstrkgld 24494  Itvcitv 24496  LineGclng 24497  pInvGcmir 24709  ∟Gcrag 24750  ⟂Gcperpg 24752  midGcmid 24826  lInvGclmi 24827 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12523  df-word 12671  df-concat 12673  df-s1 12674  df-s2 12951  df-s3 12952  df-trkgc 24508  df-trkgb 24509  df-trkgcb 24510  df-trkgld 24512  df-trkg 24513  df-cgrg 24568  df-leg 24640  df-mir 24710  df-rag 24751  df-perpg 24753  df-mid 24828  df-lmi 24829 This theorem is referenced by:  hypcgrlem1  24853
 Copyright terms: Public domain W3C validator