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Theorem lmiisolem 24838
 Description: Lemma for lmiiso 24839. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p
ismid.d
ismid.i Itv
ismid.g TarskiG
ismid.1 DimTarskiG
lmif.m lInvG
lmif.l LineG
lmif.d
lmiiso.1
lmiiso.2
lmiisolem.s pInvG
lmiisolem.z midGmidGmidG
Assertion
Ref Expression
lmiisolem

Proof of Theorem lmiisolem
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . . . . . 8
2 ismid.d . . . . . . . 8
3 ismid.i . . . . . . . 8 Itv
4 ismid.g . . . . . . . . 9 TarskiG
54adantr 467 . . . . . . . 8 TarskiG
6 lmiisolem.z . . . . . . . . . 10 midGmidGmidG
7 ismid.1 . . . . . . . . . . 11 DimTarskiG
8 lmiiso.1 . . . . . . . . . . . 12
9 lmif.m . . . . . . . . . . . . 13 lInvG
10 lmif.l . . . . . . . . . . . . 13 LineG
11 lmif.d . . . . . . . . . . . . 13
121, 2, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 8lmicl 24828 . . . . . . . . . . . 12
131, 2, 3, 4, 7, 8, 12midcl 24819 . . . . . . . . . . 11 midG
14 lmiiso.2 . . . . . . . . . . . 12
151, 2, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 14lmicl 24828 . . . . . . . . . . . 12
161, 2, 3, 4, 7, 14, 15midcl 24819 . . . . . . . . . . 11 midG
171, 2, 3, 4, 7, 13, 16midcl 24819 . . . . . . . . . 10 midGmidGmidG
186, 17syl5eqel 2533 . . . . . . . . 9
1918adantr 467 . . . . . . . 8
20 eqid 2451 . . . . . . . . . 10 pInvG pInvG
21 lmiisolem.s . . . . . . . . . 10 pInvG
221, 2, 3, 10, 20, 4, 18, 21, 8mircl 24706 . . . . . . . . 9
2322adantr 467 . . . . . . . 8
248adantr 467 . . . . . . . 8
251, 2, 3, 10, 20, 5, 19, 21, 24mircgr 24702 . . . . . . . 8
26 simpr 463 . . . . . . . . 9
2726eqcomd 2457 . . . . . . . 8
281, 2, 3, 5, 19, 23, 19, 24, 25, 27tgcgreq 24526 . . . . . . 7
29 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13 midG midG midG midG
3029oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12 midG midG midGmidGmidG midGmidGmidG
3130, 6syl6reqr 2504 . . . . . . . . . . 11 midG midG midGmidGmidG
324adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 midG midG TarskiG
337adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 midG midG DimTarskiG
3413adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 midG midG midG
351, 2, 3, 32, 33, 34, 34midid 24823 . . . . . . . . . . 11 midG midG midGmidGmidG midG
3631, 35eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10 midG midG midG
37 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . 13
381, 2, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 8, 12islmib 24829 . . . . . . . . . . . . 13 midG ⟂G
3937, 38mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12 midG ⟂G
4039simpld 461 . . . . . . . . . . 11 midG
4140adantr 467 . . . . . . . . . 10 midG midG midG
4236, 41eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9 midG midG
434adantr 467 . . . . . . . . . . 11 midG midG TarskiG
4413adantr 467 . . . . . . . . . . 11 midG midG midG
4516adantr 467 . . . . . . . . . . 11 midG midG midG
4618adantr 467 . . . . . . . . . . 11 midG midG
47 simpr 463 . . . . . . . . . . 11 midG midG midG midG
481, 2, 3, 4, 7, 13, 16midbtwn 24821 . . . . . . . . . . . . 13 midGmidGmidG midGmidG
496, 48syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . 12 midGmidG
5049adantr 467 . . . . . . . . . . 11 midG midG midGmidG
511, 3, 10, 43, 44, 45, 46, 47, 50btwnlng1 24664 . . . . . . . . . 10 midG midG midGmidG
5211adantr 467 . . . . . . . . . . 11 midG midG
5340adantr 467 . . . . . . . . . . 11 midG midG midG
54 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . 14
551, 2, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 14, 15islmib 24829 . . . . . . . . . . . . . 14 midG ⟂G
5654, 55mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13 midG ⟂G
5756simpld 461 . . . . . . . . . . . 12 midG
5857adantr 467 . . . . . . . . . . 11 midG midG midG
591, 3, 10, 43, 44, 45, 47, 47, 52, 53, 58tglinethru 24681 . . . . . . . . . 10 midG midG midGmidG
6051, 59eleqtrrd 2532 . . . . . . . . 9 midG midG
6142, 60pm2.61dane 2711 . . . . . . . 8
6261adantr 467 . . . . . . 7
6328, 62eqeltrrd 2530 . . . . . 6
641, 2, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 8lmiinv 24834 . . . . . . 7
6564biimpar 488 . . . . . 6
6663, 65syldan 473 . . . . 5
6766, 28eqtr4d 2488 . . . 4
6867oveq1d 6305 . . 3
69 eqidd 2452 . . . . . . . . 9
704adantr 467 . . . . . . . . . 10 TarskiG
7114adantr 467 . . . . . . . . . 10
7216adantr 467 . . . . . . . . . 10 midG
731, 2, 3, 4, 7, 14, 15midbtwn 24821 . . . . . . . . . . . 12 midG
7473adantr 467 . . . . . . . . . . 11 midG
75 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12
7675oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11
7774, 76eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . 10 midG
781, 2, 3, 70, 71, 72, 77axtgbtwnid 24514 . . . . . . . . 9 midG
79 eqidd 2452 . . . . . . . . 9
8069, 78, 79s3eqd 12959 . . . . . . . 8 midG
811, 2, 3, 10, 20, 4, 18, 14, 14ragtrivb 24747 . . . . . . . . 9 ∟G
8281adantr 467 . . . . . . . 8 ∟G
8380, 82eqeltrrd 2530 . . . . . . 7 midG ∟G
844adantr 467 . . . . . . . 8 TarskiG
8561adantr 467 . . . . . . . 8
8657adantr 467 . . . . . . . 8 midG
8714adantr 467 . . . . . . . 8
88 df-ne 2624 . . . . . . . . . 10
8956simprd 465 . . . . . . . . . . . 12 ⟂G
9089orcomd 390 . . . . . . . . . . 11 ⟂G
9190orcanai 924 . . . . . . . . . 10 ⟂G
9288, 91sylan2b 478 . . . . . . . . 9 ⟂G
9315adantr 467 . . . . . . . . . . 11
94 simpr 463 . . . . . . . . . . 11
9516adantr 467 . . . . . . . . . . 11 midG
964adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 midG TarskiG
9714adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 midG
9815adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 midG
997adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 midG DimTarskiG
100 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 midG midG
1011, 2, 3, 96, 99, 97, 98, 100midcgr 24822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 midG
102101eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15 midG
1031, 2, 3, 96, 97, 98, 97, 102axtgcgrid 24511 . . . . . . . . . . . . . 14 midG
104103ex 436 . . . . . . . . . . . . 13 midG
105104necon3d 2645 . . . . . . . . . . . 12 midG
106105imp 431 . . . . . . . . . . 11 midG
10773adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 midG
1081, 3, 10, 84, 87, 93, 95, 94, 107btwnlng1 24664 . . . . . . . . . . 11 midG
1091, 3, 10, 84, 87, 93, 94, 95, 106, 108tglineelsb2 24677 . . . . . . . . . 10 midG
1101, 3, 10, 84, 95, 87, 106tglinecom 24680 . . . . . . . . . 10 midG midG
111109, 110eqtr4d 2488 . . . . . . . . 9 midG
11292, 111breqtrd 4427 . . . . . . . 8 ⟂GmidG
1131, 2, 3, 10, 84, 85, 86, 87, 112perpdrag 24770 . . . . . . 7 midG ∟G
11483, 113pm2.61dane 2711 . . . . . 6 midG ∟G
1151, 2, 3, 10, 20, 4, 18, 16, 14israg 24742 . . . . . 6 midG ∟G pInvGmidG
116114, 115mpbid 214 . . . . 5 pInvGmidG
117 eqidd 2452 . . . . . . 7 midG midG
1181, 2, 3, 4, 7, 14, 15, 20, 16ismidb 24820 . . . . . . 7 pInvGmidG midG midG
119117, 118mpbird 236 . . . . . 6 pInvGmidG
120119oveq2d 6306 . . . . 5 pInvGmidG
121116, 120eqtr4d 2488 . . . 4
12328oveq1d 6305 . . 3
12468, 122, 1233eqtr2d 2491 . 2
1254adantr 467 . . . 4 TarskiG
12622adantr 467 . . . 4
12718adantr 467 . . . 4
1288adantr 467 . . . 4
1291, 2, 3, 10, 20, 4, 18, 21, 12mircl 24706 . . . . 5
130129adantr 467 . . . 4
13112adantr 467 . . . 4
13214adantr 467 . . . 4
13315adantr 467 . . . 4
134 simpr 463 . . . 4
1351, 2, 3, 10, 20, 125, 127, 21, 128mirbtwn 24703 . . . 4
1361, 2, 3, 10, 20, 125, 127, 21, 131mirbtwn 24703 . . . 4
137 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . 12
1384adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 TarskiG
1398adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
14013adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 midG
1411, 2, 3, 4, 7, 8, 12midbtwn 24821 . . . . . . . . . . . . . . 15 midG
142141adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 midG
143 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
144143oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14
145142, 144eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . 13 midG
1461, 2, 3, 138, 139, 140, 145axtgbtwnid 24514 . . . . . . . . . . . 12 midG
147 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . 12
148137, 146, 147s3eqd 12959 . . . . . . . . . . 11 midG
1491, 2, 3, 10, 20, 4, 18, 8, 8ragtrivb 24747 . . . . . . . . . . . 12 ∟G
150149adantr 467 . . . . . . . . . . 11 ∟G
151148, 150eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . 10 midG ∟G
1524adantr 467 . . . . . . . . . . 11 TarskiG
15361adantr 467 . . . . . . . . . . 11
15440adantr 467 . . . . . . . . . . 11 midG
1558adantr 467 . . . . . . . . . . 11
156 df-ne 2624 . . . . . . . . . . . . 13
15739simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⟂G
158157orcomd 390 . . . . . . . . . . . . . 14 ⟂G
159158orcanai 924 . . . . . . . . . . . . 13 ⟂G
160156, 159sylan2b 478 . . . . . . . . . . . 12 ⟂G
16112adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14
162 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14
16313adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 midG
1644adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 midG TarskiG
1658adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 midG
16612adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 midG
1677adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 midG DimTarskiG
168 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 midG midG
1691, 2, 3, 164, 167, 165, 166, 168midcgr 24822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 midG
170169eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 midG
1711, 2, 3, 164, 165, 166, 165, 170axtgcgrid 24511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 midG
172171ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 midG
173172necon3d 2645 . . . . . . . . . . . . . . 15 midG
174173imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14 midG
175141adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 midG
1761, 3, 10, 152, 155, 161, 163, 162, 175btwnlng1 24664 . . . . . . . . . . . . . 14 midG
1771, 3, 10, 152, 155, 161, 162, 163, 174, 176tglineelsb2 24677 . . . . . . . . . . . . 13 midG
1781, 3, 10, 152, 163, 155, 174tglinecom 24680 . . . . . . . . . . . . 13 midG midG
179177, 178eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . 12 midG
180160, 179breqtrd 4427 . . . . . . . . . . 11 ⟂GmidG
1811, 2, 3, 10, 152, 153, 154, 155, 180perpdrag 24770 . . . . . . . . . 10 midG ∟G
182151, 181pm2.61dane 2711 . . . . . . . . 9 midG ∟G
1831, 2, 3, 10, 20, 4, 18, 13, 8israg 24742 . . . . . . . . 9 midG ∟G pInvGmidG
184182, 183mpbid 214 . . . . . . . 8 pInvGmidG
185 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10 midG midG
1861, 2, 3, 4, 7, 8, 12, 20, 13ismidb 24820 . . . . . . . . . 10 pInvGmidG midG midG
187185, 186mpbird 236 . . . . . . . . 9 pInvGmidG
188187oveq2d 6306 . . . . . . . 8 pInvGmidG
189184, 188eqtr4d 2488 . . . . . . 7
1901, 2, 3, 10, 20, 4, 18, 21, 8mircgr 24702 . . . . . . 7
1911, 2, 3, 10, 20, 4, 18, 21, 12mircgr 24702 . . . . . . 7
192189, 190, 1913eqtr4d 2495 . . . . . 6
193192adantr 467 . . . . 5
1941, 2, 3, 125, 127, 126, 127, 130, 193tgcgrcomlr 24524 . . . 4
195189adantr 467 . . . 4
19621fveq1i 5866 . . . . . . . . . 10 midG pInvGmidG
1971, 2, 3, 4, 7, 8, 12, 21, 18mirmid 24825 . . . . . . . . . 10 midG midG
1986eqcomi 2460 . . . . . . . . . . 11 midGmidGmidG
1991, 2, 3, 4, 7, 13, 16, 20, 18ismidb 24820 . . . . . . . . . . 11 midG pInvGmidG midGmidGmidG
200198, 199mpbiri 237 . . . . . . . . . 10 midG pInvGmidG
201196, 197, 2003eqtr4a 2511 . . . . . . . . 9 midG midG
2021, 2, 3, 4, 7, 22, 129, 20, 16ismidb 24820 . . . . . . . . 9 pInvGmidG midG midG
203201, 202mpbird 236 . . . . . . . 8 pInvGmidG
204119, 203oveq12d 6308 . . . . . . 7 pInvGmidG pInvGmidG
205 eqid 2451 . . . . . . . 8 pInvGmidG pInvGmidG
2061, 2, 3, 10, 20, 4, 16, 205, 14, 22miriso 24715 . . . . . . 7 pInvGmidG pInvGmidG
207204, 206eqtr2d 2486 . . . . . 6
208207adantr 467 . . . . 5
2091, 2, 3, 125, 132, 126, 133, 130, 208tgcgrcomlr 24524 . . . 4
210121adantr 467 . . . 4
2111, 2, 3, 125, 126, 127, 128, 130, 127, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 194, 195, 209, 210axtg5seg 24513 . . 3
212211eqcomd 2457 . 2
213124, 212pm2.61dane 2711 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 370   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622   class class class wbr 4402   crn 4835  cfv 5582  (class class class)co 6290  c2 10659  cs3 12938  cbs 15121  cds 15199  TarskiGcstrkg 24478  DimTarskiG≥cstrkgld 24482  Itvcitv 24484  LineGclng 24485  pInvGcmir 24697  ∟Gcrag 24738  ⟂Gcperpg 24740  midGcmid 24814  lInvGclmi 24815 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkgld 24500  df-trkg 24501  df-cgrg 24556  df-leg 24628  df-mir 24698  df-rag 24739  df-perpg 24741  df-mid 24816  df-lmi 24817 This theorem is referenced by:  lmiiso  24839
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