MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmiinv Structured version   Unicode version

Theorem lmiinv 23950
Description: The invariants of the line mirroring lie on the mirror line. Theorem 10.8 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
ismid.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
ismid.i  |-  I  =  (Itv `  G )
ismid.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
ismid.1  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
lmif.m  |-  M  =  ( (lInvG `  G
) `  D )
lmif.l  |-  L  =  (LineG `  G )
lmif.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ran  L
)
lmicl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
Assertion
Ref Expression
lmiinv  |-  ( ph  ->  ( ( M `  A )  =  A  <-> 
A  e.  D ) )

Proof of Theorem lmiinv
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 ismid.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 ismid.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 ismid.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
5 ismid.1 . . 3  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
6 lmif.m . . 3  |-  M  =  ( (lInvG `  G
) `  D )
7 lmif.l . . 3  |-  L  =  (LineG `  G )
8 lmif.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ran  L
)
9 lmicl.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9islmib 23945 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( M `  A )  <-> 
( ( A (midG `  G ) A )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L A )  \/  A  =  A ) ) ) )
11 eqcom 2476 . . 3  |-  ( A  =  ( M `  A )  <->  ( M `  A )  =  A )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( M `  A )  <-> 
( M `  A
)  =  A ) )
13 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =  A )
1413olcd 393 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D (⟂G `  G
) ( A L A )  \/  A  =  A ) )
1514biantrud 507 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (midG `  G ) A )  e.  D  <->  ( ( A (midG `  G ) A )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L A )  \/  A  =  A ) ) ) )
161, 2, 3, 4, 5, 9, 9midid 23939 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (midG `  G ) A )  =  A )
1716eleq1d 2536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (midG `  G ) A )  e.  D  <->  A  e.  D ) )
1815, 17bitr3d 255 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A (midG `  G ) A )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L A )  \/  A  =  A ) )  <->  A  e.  D ) )
1910, 12, 183bitr3d 283 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  A )  =  A  <-> 
A  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4452   ran crn 5005   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   2c2 10595   Basecbs 14502   distcds 14576  TarskiGcstrkg 23668  DimTarskiGcstrkgld 23672  Itvcitv 23675  LineGclng 23676  ⟂Gcperpg 23895  midGcmid 23930  lInvGclmi 23931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-hash 12384  df-word 12518  df-concat 12520  df-s1 12521  df-s2 12788  df-s3 12789  df-trkgc 23687  df-trkgb 23688  df-trkgcb 23689  df-trkgld 23691  df-trkg 23693  df-cgrg 23746  df-leg 23812  df-mir 23862  df-rag 23894  df-perpg 23896  df-mid 23932  df-lmi 23933
This theorem is referenced by:  lmiisolem  23953  hypcgrlem2  23957
  Copyright terms: Public domain W3C validator