MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmiinv Structured version   Unicode version

Theorem lmiinv 24690
Description: The invariants of the line mirroring lie on the mirror line. Theorem 10.8 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
ismid.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
ismid.i  |-  I  =  (Itv `  G )
ismid.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
ismid.1  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
lmif.m  |-  M  =  ( (lInvG `  G
) `  D )
lmif.l  |-  L  =  (LineG `  G )
lmif.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ran  L
)
lmicl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
Assertion
Ref Expression
lmiinv  |-  ( ph  ->  ( ( M `  A )  =  A  <-> 
A  e.  D ) )

Proof of Theorem lmiinv
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 ismid.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 ismid.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 ismid.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
5 ismid.1 . . 3  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
6 lmif.m . . 3  |-  M  =  ( (lInvG `  G
) `  D )
7 lmif.l . . 3  |-  L  =  (LineG `  G )
8 lmif.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ran  L
)
9 lmicl.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9islmib 24685 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( M `  A )  <-> 
( ( A (midG `  G ) A )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L A )  \/  A  =  A ) ) ) )
11 eqcom 2438 . . 3  |-  ( A  =  ( M `  A )  <->  ( M `  A )  =  A )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( M `  A )  <-> 
( M `  A
)  =  A ) )
13 eqidd 2430 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =  A )
1413olcd 394 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D (⟂G `  G
) ( A L A )  \/  A  =  A ) )
1514biantrud 509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (midG `  G ) A )  e.  D  <->  ( ( A (midG `  G ) A )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L A )  \/  A  =  A ) ) ) )
161, 2, 3, 4, 5, 9, 9midid 24679 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (midG `  G ) A )  =  A )
1716eleq1d 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (midG `  G ) A )  e.  D  <->  A  e.  D ) )
1815, 17bitr3d 258 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A (midG `  G ) A )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L A )  \/  A  =  A ) )  <->  A  e.  D ) )
1910, 12, 183bitr3d 286 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  A )  =  A  <-> 
A  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   2c2 10659   Basecbs 15084   distcds 15161  TarskiGcstrkg 24341  DimTarskiGcstrkgld 24345  Itvcitv 24347  LineGclng 24348  ⟂Gcperpg 24597  midGcmid 24670  lInvGclmi 24671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-hash 12513  df-word 12651  df-concat 12653  df-s1 12654  df-s2 12929  df-s3 12930  df-trkgc 24359  df-trkgb 24360  df-trkgcb 24361  df-trkgld 24363  df-trkg 24364  df-cgrg 24419  df-leg 24488  df-mir 24558  df-rag 24596  df-perpg 24598  df-mid 24672  df-lmi 24673
This theorem is referenced by:  lmicinv  24691  lmiisolem  24694  hypcgrlem2  24698  lmiopp  24700
  Copyright terms: Public domain W3C validator