Theorem lmieu 23974

Description: Uniqueness of the line mirror point. Theorem 10.2 of [Schwabhauser] p. 88. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	|- P = ( Base ` G )
ismid.d	|- .- = ( dist ` G )
ismid.i	|- I = (Itv ` G )
ismid.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
ismid.1	|- ( ph -> GDimTarskiG≥ 2 )
lmieu.l	|- L = (LineG ` G )
lmieu.1	|- ( ph -> D e. ran L )
lmieu.a	|- ( ph -> A e. P )

Assertion

Ref	Expression
lmieu	|- ( ph -> E! b e. P ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) )

Distinct variable groups:   G, b   P, b   ph, b   A, b   D, b   L, b

Allowed substitution hints:   I( b)   .- ( b)

Proof of Theorem lmieu

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmieu.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. P )
2	1	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. D ) -> A e. P )
3		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> ( A (midG ` G ) b ) = ( A (midG ` G ) b ) )
4		ismid.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- P = ( Base ` G )
5		ismid.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .- = ( dist ` G )
6		ismid.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- I = (Itv ` G )
7		ismid.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> G e. TarskiG )
8	7	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> G e. TarskiG )
9		ismid.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> GDimTarskiG≥ 2 )
10	9	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> GDimTarskiG≥ 2 )
11	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> A e. P )
12		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> b e. P )
13		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (pInvG ` G ) = (pInvG ` G )
14	4, 5, 6, 8, 10, 11, 12	midcl 23967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. P )
15	4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14	ismidb 23968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> ( b = ( ( (pInvG ` G ) ` ( A (midG ` G ) b ) ) ` A ) <-> ( A (midG ` G ) b ) = ( A (midG ` G ) b ) ) )
16	3, 15	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> b = ( ( (pInvG ` G ) ` ( A (midG ` G ) b ) ) ` A ) )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> b = ( ( (pInvG ` G ) ` ( A (midG ` G ) b ) ) ` A ) )
18		lmieu.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- L = (LineG ` G )
19	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> G e. TarskiG )
20		lmieu.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> D e. ran L )
21	20	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> D e. ran L )
22	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> D e. ran L )
23	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> A e. P )
24	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> b e. P )
25		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> -. A = b )
26	25	neqned 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> A =/= b )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> A =/= b )
28	4, 6, 18, 19, 23, 24, 27	tgelrnln 23863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> ( A L b ) e. ran L )
29		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> D =/= ( A L b ) )
30		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> A e. D )
31	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> A e. D )
32	4, 6, 18, 19, 23, 24, 27	tglinerflx1 23866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> A e. ( A L b ) )
33	31, 32	elind 3693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> A e. ( D i^i ( A L b ) ) )
34		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. D )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. D )
36	4, 5, 6, 8, 10, 11, 12	midbtwn 23969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. ( A I b ) )
37	4, 6, 18, 8, 11, 12, 14, 26, 36	btwnlng1 23852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. ( A L b ) )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. ( A L b ) )
39	35, 38	elind 3693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. ( D i^i ( A L b ) ) )
40	4, 6, 18, 19, 22, 28, 29, 33, 39	tglineineq 23875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> A = ( A (midG ` G ) b ) )
41	40	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> ( (pInvG ` G ) ` A ) = ( (pInvG ` G ) ` ( A (midG ` G ) b ) ) )
42	41	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` A ) ` A ) = ( ( (pInvG ` G ) ` ( A (midG ` G ) b ) ) ` A ) )
43		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (pInvG ` G ) ` A ) = ( (pInvG ` G ) ` A )
44	4, 5, 6, 18, 13, 19, 23, 43	mircinv 23900	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` A ) ` A ) = A )
45	17, 42, 44	3eqtr2rd 2515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> A = b )
46	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D =/= ( A L b ) ) -> -. A = b )
47	45, 46	pm2.65da 576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> -. D =/= ( A L b ) )
48		nne 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. D =/= ( A L b ) <-> D = ( A L b ) )
49	47, 48	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> D = ( A L b ) )
50	49	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D (⟂G ` G ) ( A L b ) ) -> D = ( A L b ) )
51	7	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D (⟂G ` G ) ( A L b ) ) -> G e. TarskiG )
52	20	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D (⟂G ` G ) ( A L b ) ) -> D e. ran L )
53	50, 52	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D (⟂G ` G ) ( A L b ) ) -> ( A L b ) e. ran L )
54		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D (⟂G ` G ) ( A L b ) ) -> D (⟂G ` G ) ( A L b ) )
55	4, 5, 6, 18, 51, 52, 53, 54	perpneq 23939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D (⟂G ` G ) ( A L b ) ) -> D =/= ( A L b ) )
56	55	neneqd 2669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) /\ D (⟂G ` G ) ( A L b ) ) -> -. D = ( A L b ) )
57	50, 56	pm2.65da 576	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) /\ -. A = b ) -> -. D (⟂G ` G ) ( A L b ) )
58	57	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) -> ( -. A = b -> -. D (⟂G ` G ) ( A L b ) ) )
59	58	con4d 105	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) -> ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) -> A = b ) )
60		idd 24	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) -> ( A = b -> A = b ) )
61	59, 60	jaod 380	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( A (midG ` G ) b ) e. D ) -> ( ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) -> A = b ) )
62	61	impr 619	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> A = b )
63	62	eqcomd 2475	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> b = A )
64		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ b = A ) -> b = A )
65	64	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ b = A ) -> ( A (midG ` G ) b ) = ( A (midG ` G ) A ) )
66	4, 5, 6, 7, 9, 1, 1	midid 23971	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A (midG ` G ) A ) = A )
67	66	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ b = A ) -> ( A (midG ` G ) A ) = A )
68	65, 67	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ b = A ) -> ( A (midG ` G ) b ) = A )
69		simpllr 758	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ b = A ) -> A e. D )
70	68, 69	eqeltrd 2555	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ b = A ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. D )
71	64	eqcomd 2475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ b = A ) -> A = b )
72	71	olcd 393	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ b = A ) -> ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) )
73	70, 72	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) /\ b = A ) -> ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) )
74	63, 73	impbida 830	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. D ) /\ b e. P ) -> ( ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) <-> b = A ) )
75	74	ralrimiva 2881	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. D ) -> A. b e. P ( ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) <-> b = A ) )
76		reu6i 3299	. . 3 |- ( ( A e. P /\ A. b e. P ( ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) <-> b = A ) ) -> E! b e. P ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) )
77	2, 75, 76	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ph /\ A e. D ) -> E! b e. P ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) )
78	7	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A e. D ) -> G e. TarskiG )
79	78	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) -> G e. TarskiG )
80	20	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A e. D ) -> D e. ran L )
81	80	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) -> D e. ran L )
82		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) -> x e. D )
83	4, 18, 6, 79, 81, 82	tglnpt 23802	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) -> x e. P )
84		eqid 2467	. . . . 5 |- ( (pInvG ` G ) ` x ) = ( (pInvG ` G ) ` x )
85	1	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A e. D ) -> A e. P )
86	85	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) -> A e. P )
87	4, 5, 6, 18, 13, 79, 83, 84, 86	mircl 23894	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) e. P )
88		oveq2 6303	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( A (midG ` G ) b ) -> ( A L x ) = ( A L ( A (midG ` G ) b ) ) )
89	88	breq1d 4463	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( A (midG ` G ) b ) -> ( ( A L x ) (⟂G ` G ) D <-> ( A L ( A (midG ` G ) b ) ) (⟂G ` G ) D ) )
90		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. D )
91		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A e. D ) -> -. A e. D )
92	4, 5, 6, 18, 78, 80, 85, 91	foot 23944	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. A e. D ) -> E! x e. D ( A L x ) (⟂G ` G ) D )
93		reurmo 3084	. . . . . . . . . . 11 |- ( E! x e. D ( A L x ) (⟂G ` G ) D -> E* x e. D ( A L x ) (⟂G ` G ) D )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. A e. D ) -> E* x e. D ( A L x ) (⟂G ` G ) D )
95	94	ad4antr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> E* x e. D ( A L x ) (⟂G ` G ) D )
96	82	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> x e. D )
97		simpllr 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( A L x ) (⟂G ` G ) D )
98	79	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> G e. TarskiG )
99	86	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> A e. P )
100		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> b e. P )
101	9	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> GDimTarskiG≥ 2 )
102	4, 5, 6, 98, 101, 99, 100	midcl 23967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. P )
103	4, 5, 6, 98, 101, 99, 100	midbtwn 23969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. ( A I b ) )
104	91	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> -. A e. D )
105		nelne2 2797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ -. A e. D ) -> ( A (midG ` G ) b ) =/= A )
106	90, 104, 105	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( A (midG ` G ) b ) =/= A )
107	4, 5, 6, 98, 99, 102, 100, 103, 106	tgbtwnne 23747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> A =/= b )
108	4, 6, 18, 98, 99, 100, 102, 107, 103	btwnlng1 23852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. ( A L b ) )
109	4, 6, 18, 98, 99, 100, 107, 102, 106, 108	tglineelsb2 23865	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( A L b ) = ( A L ( A (midG ` G ) b ) ) )
110	81	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> D e. ran L )
111	4, 6, 18, 98, 99, 100, 107	tgelrnln 23863	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( A L b ) e. ran L )
112	107	neneqd 2669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> -. A = b )
113		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) )
114	113	orcomd 388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( A = b \/ D (⟂G ` G ) ( A L b ) ) )
115	114	ord 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( -. A = b -> D (⟂G ` G ) ( A L b ) ) )
116	112, 115	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> D (⟂G ` G ) ( A L b ) )
117	4, 5, 6, 18, 98, 110, 111, 116	perpcom 23938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( A L b ) (⟂G ` G ) D )
118	109, 117	eqbrtrrd 4475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( A L ( A (midG ` G ) b ) ) (⟂G ` G ) D )
119	89, 90, 95, 96, 97, 118	rmoi2 3439	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> x = ( A (midG ` G ) b ) )
120	119	eqcomd 2475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( A (midG ` G ) b ) = x )
121	83	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> x e. P )
122	4, 5, 6, 98, 101, 99, 100, 13, 121	ismidb 23968	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> ( b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) <-> ( A (midG ` G ) b ) = x ) )
123	120, 122	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) ) -> b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) )
124		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) )
125	79	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> G e. TarskiG )
126	9	ad5antr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> GDimTarskiG≥ 2 )
127	86	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> A e. P )
128		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> b e. P )
129	83	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> x e. P )
130	4, 5, 6, 125, 126, 127, 128, 13, 129	ismidb 23968	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> ( b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) <-> ( A (midG ` G ) b ) = x ) )
131	124, 130	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> ( A (midG ` G ) b ) = x )
132	82	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> x e. D )
133	131, 132	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> ( A (midG ` G ) b ) e. D )
134	125	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> G e. TarskiG )
135		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> ( A L x ) (⟂G ` G ) D )
136	18, 134, 135	perpln1 23935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> ( A L x ) e. ran L )
137	81	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> D e. ran L )
138	4, 5, 6, 18, 134, 136, 137, 135	perpcom 23938	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> D (⟂G ` G ) ( A L x ) )
139	127	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> A e. P )
140	129	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> x e. P )
141	4, 6, 18, 134, 139, 140, 136	tglnne 23861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> A =/= x )
142	128	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> b e. P )
143		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> A =/= b )
144	143	necomd 2738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> b =/= A )
145	4, 5, 6, 18, 13, 134, 140, 84, 139	mirbtwn 23891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> x e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) I A ) )
146	124	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) )
147	146	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> ( b I A ) = ( ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) I A ) )
148	145, 147	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> x e. ( b I A ) )
149	4, 6, 18, 134, 142, 139, 140, 144, 148	btwnlng1 23852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> x e. ( b L A ) )
150	4, 6, 18, 134, 139, 140, 142, 141, 149, 144	lnrot1 23856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> b e. ( A L x ) )
151	4, 6, 18, 134, 139, 140, 141, 142, 144, 150	tglineelsb2 23865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> ( A L x ) = ( A L b ) )
152	138, 151	breqtrd 4477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) /\ A =/= b ) -> D (⟂G ` G ) ( A L b ) )
153	152	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> ( A =/= b -> D (⟂G ` G ) ( A L b ) ) )
154	153	necon1bd 2685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> ( -. D (⟂G ` G ) ( A L b ) -> A = b ) )
155	154	orrd 378	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) )
156	133, 155	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) /\ b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) -> ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) )
157	123, 156	impbida 830	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) /\ b e. P ) -> ( ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) <-> b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) )
158	157	ralrimiva 2881	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) -> A. b e. P ( ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) <-> b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) )
159		reu6i 3299	. . . 4 |- ( ( ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) e. P /\ A. b e. P ( ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) <-> b = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` A ) ) ) -> E! b e. P ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) )
160	87, 158, 159	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ -. A e. D ) /\ x e. D ) /\ ( A L x ) (⟂G ` G ) D ) -> E! b e. P ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) )
161	4, 5, 6, 18, 78, 80, 85, 91	footex 23943	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A e. D ) -> E. x e. D ( A L x ) (⟂G ` G ) D )
162	160, 161	r19.29a 3008	. 2 |- ( ( ph /\ -. A e. D ) -> E! b e. P ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) )
163	77, 162	pm2.61dan 789	1 |- ( ph -> E! b e. P ( ( A (midG ` G ) b ) e. D /\ ( D (⟂G ` G ) ( A L b ) \/ A = b ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E!wreu 2819   E*wrmo 2820   class class class wbr 4453   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   2c2 10597   Basecbs 14507   distcds 14581  TarskiGcstrkg 23691  Dim_TarskiG≥cstrkgld 23695  Itvcitv 23698  LineGclng 23699  pInvGcmir 23885  ⟂Gcperpg 23920  midGcmid 23962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-s2 12793  df-s3 12794  df-trkgc 23710  df-trkgb 23711  df-trkgcb 23712  df-trkgld 23714  df-trkg 23716  df-cgrg 23769  df-leg 23835  df-mir 23886  df-rag 23919  df-perpg 23921  df-mid 23964

This theorem is referenced by:  lmif  23975  islmib  23977