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Theorem lmieu 23974
Description: Uniqueness of the line mirror point. Theorem 10.2 of [Schwabhauser] p. 88. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
ismid.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
ismid.i  |-  I  =  (Itv `  G )
ismid.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
ismid.1  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
lmieu.l  |-  L  =  (LineG `  G )
lmieu.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ran  L
)
lmieu.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
Assertion
Ref Expression
lmieu  |-  ( ph  ->  E! b  e.  P  ( ( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) ) )
Distinct variable groups:    G, b    P, b    ph, b    A, b    D, b    L, b
Allowed substitution hints:    I( b)    .- ( b)

Proof of Theorem lmieu
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmieu.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  D )  ->  A  e.  P )
3 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  -> 
( A (midG `  G ) b )  =  ( A (midG `  G ) b ) )
4 ismid.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  P  =  ( Base `  G
)
5 ismid.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .-  =  ( dist `  G )
6 ismid.i . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  I  =  (Itv `  G )
7 ismid.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
87ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  ->  G  e. TarskiG )
9 ismid.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
109ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  ->  GDimTarskiG 2 )
112ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  ->  A  e.  P )
12 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  -> 
b  e.  P )
13 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (pInvG `  G )  =  (pInvG `  G )
144, 5, 6, 8, 10, 11, 12midcl 23967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  -> 
( A (midG `  G ) b )  e.  P )
154, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14ismidb 23968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  -> 
( b  =  ( ( (pInvG `  G
) `  ( A
(midG `  G )
b ) ) `  A )  <->  ( A
(midG `  G )
b )  =  ( A (midG `  G
) b ) ) )
163, 15mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  -> 
b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  ( A (midG `  G ) b ) ) `  A ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  -> 
b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  ( A (midG `  G ) b ) ) `  A ) )
18 lmieu.l . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  L  =  (LineG `  G )
198adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  ->  G  e. TarskiG )
20 lmieu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  D  e.  ran  L
)
2120ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  ->  D  e.  ran  L )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  ->  D  e.  ran  L )
2311adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  ->  A  e.  P )
2412adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  -> 
b  e.  P )
25 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  ->  -.  A  =  b
)
2625neqned 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  ->  A  =/=  b )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  ->  A  =/=  b )
284, 6, 18, 19, 23, 24, 27tgelrnln 23863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  -> 
( A L b )  e.  ran  L
)
29 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  ->  D  =/=  ( A L b ) )
30 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  ->  A  e.  D )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  ->  A  e.  D )
324, 6, 18, 19, 23, 24, 27tglinerflx1 23866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  ->  A  e.  ( A L b ) )
3331, 32elind 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  ->  A  e.  ( D  i^i  ( A L b ) ) )
34 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  -> 
( A (midG `  G ) b )  e.  D )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  -> 
( A (midG `  G ) b )  e.  D )
364, 5, 6, 8, 10, 11, 12midbtwn 23969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  -> 
( A (midG `  G ) b )  e.  ( A I b ) )
374, 6, 18, 8, 11, 12, 14, 26, 36btwnlng1 23852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  -> 
( A (midG `  G ) b )  e.  ( A L b ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  -> 
( A (midG `  G ) b )  e.  ( A L b ) )
3935, 38elind 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  -> 
( A (midG `  G ) b )  e.  ( D  i^i  ( A L b ) ) )
404, 6, 18, 19, 22, 28, 29, 33, 39tglineineq 23875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  ->  A  =  ( A
(midG `  G )
b ) )
4140fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  -> 
( (pInvG `  G
) `  A )  =  ( (pInvG `  G ) `  ( A (midG `  G )
b ) ) )
4241fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  -> 
( ( (pInvG `  G ) `  A
) `  A )  =  ( ( (pInvG `  G ) `  ( A (midG `  G )
b ) ) `  A ) )
43 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (pInvG `  G ) `  A
)  =  ( (pInvG `  G ) `  A
)
444, 5, 6, 18, 13, 19, 23, 43mircinv 23900 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  -> 
( ( (pInvG `  G ) `  A
) `  A )  =  A )
4517, 42, 443eqtr2rd 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  ->  A  =  b )
4625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D  =/=  ( A L b ) )  ->  -.  A  =  b
)
4745, 46pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  ->  -.  D  =/=  ( A L b ) )
48 nne 2668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  D  =/=  ( A L b )  <->  D  =  ( A L b ) )
4947, 48sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  ->  D  =  ( A L b ) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D (⟂G `  G )
( A L b ) )  ->  D  =  ( A L b ) )
517ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D (⟂G `  G )
( A L b ) )  ->  G  e. TarskiG )
5220ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D (⟂G `  G )
( A L b ) )  ->  D  e.  ran  L )
5350, 52eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D (⟂G `  G )
( A L b ) )  ->  ( A L b )  e. 
ran  L )
54 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D (⟂G `  G )
( A L b ) )  ->  D
(⟂G `  G ) ( A L b ) )
554, 5, 6, 18, 51, 52, 53, 54perpneq 23939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D (⟂G `  G )
( A L b ) )  ->  D  =/=  ( A L b ) )
5655neneqd 2669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  /\  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  /\  D (⟂G `  G )
( A L b ) )  ->  -.  D  =  ( A L b ) )
5750, 56pm2.65da 576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  /\  -.  A  =  b )  ->  -.  D (⟂G `  G
) ( A L b ) )
5857ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  ->  ( -.  A  =  b  ->  -.  D (⟂G `  G
) ( A L b ) ) )
5958con4d 105 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  ->  ( D
(⟂G `  G ) ( A L b )  ->  A  =  b ) )
60 idd 24 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  ->  ( A  =  b  ->  A  =  b ) )
6159, 60jaod 380 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)  ->  ( ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b )  ->  A  =  b ) )
6261impr 619 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  A  =  b )
6362eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  b  =  A )
64 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  A )  ->  b  =  A )
6564oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  A )  ->  ( A (midG `  G )
b )  =  ( A (midG `  G
) A ) )
664, 5, 6, 7, 9, 1, 1midid 23971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (midG `  G ) A )  =  A )
6766ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  A )  ->  ( A (midG `  G ) A )  =  A )
6865, 67eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  A )  ->  ( A (midG `  G )
b )  =  A )
69 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  A )  ->  A  e.  D )
7068, 69eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  A )  ->  ( A (midG `  G )
b )  e.  D
)
7164eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  A )  ->  A  =  b )
7271olcd 393 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  A )  ->  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) )
7370, 72jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  A )  ->  (
( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) ) )
7463, 73impbida 830 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  D )  /\  b  e.  P )  ->  (
( ( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) )  <->  b  =  A ) )
7574ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  D )  ->  A. b  e.  P  ( (
( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) )  <->  b  =  A ) )
76 reu6i 3299 . . 3  |-  ( ( A  e.  P  /\  A. b  e.  P  ( ( ( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) )  <->  b  =  A ) )  ->  E! b  e.  P  ( ( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) ) )
772, 75, 76syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  D )  ->  E! b  e.  P  (
( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) ) )
787adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  ->  G  e. TarskiG )
7978ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D
)  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  ->  G  e. TarskiG )
8020adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  ->  D  e.  ran  L )
8180ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D
)  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  ->  D  e.  ran  L )
82 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D
)  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  ->  x  e.  D
)
834, 18, 6, 79, 81, 82tglnpt 23802 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D
)  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  ->  x  e.  P
)
84 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( (pInvG `  G ) `  x
)  =  ( (pInvG `  G ) `  x
)
851adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  ->  A  e.  P )
8685ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D
)  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  ->  A  e.  P
)
874, 5, 6, 18, 13, 79, 83, 84, 86mircl 23894 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D
)  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  ->  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )  e.  P )
88 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A (midG `  G ) b )  ->  ( A L x )  =  ( A L ( A (midG `  G )
b ) ) )
8988breq1d 4463 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A (midG `  G ) b )  ->  ( ( A L x ) (⟂G `  G ) D  <->  ( A L ( A (midG `  G ) b ) ) (⟂G `  G
) D ) )
90 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)
91 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  ->  -.  A  e.  D )
924, 5, 6, 18, 78, 80, 85, 91foot 23944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  ->  E! x  e.  D  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )
93 reurmo 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E! x  e.  D  ( A L x ) (⟂G `  G ) D  ->  E* x  e.  D  ( A L x ) (⟂G `  G
) D )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  ->  E* x  e.  D  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )
9594ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  E* x  e.  D  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )
9682ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  x  e.  D )
97 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )
9879ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
9986ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  A  e.  P )
100 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  b  e.  P )
1019ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  GDimTarskiG 2 )
1024, 5, 6, 98, 101, 99, 100midcl 23967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( A
(midG `  G )
b )  e.  P
)
1034, 5, 6, 98, 101, 99, 100midbtwn 23969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( A
(midG `  G )
b )  e.  ( A I b ) )
10491ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  -.  A  e.  D )
105 nelne2 2797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  -.  A  e.  D )  ->  ( A (midG `  G ) b )  =/=  A )
10690, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( A
(midG `  G )
b )  =/=  A
)
1074, 5, 6, 98, 99, 102, 100, 103, 106tgbtwnne 23747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  A  =/=  b )
1084, 6, 18, 98, 99, 100, 102, 107, 103btwnlng1 23852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( A
(midG `  G )
b )  e.  ( A L b ) )
1094, 6, 18, 98, 99, 100, 107, 102, 106, 108tglineelsb2 23865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( A L b )  =  ( A L ( A (midG `  G
) b ) ) )
11081ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  D  e.  ran  L )
1114, 6, 18, 98, 99, 100, 107tgelrnln 23863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( A L b )  e. 
ran  L )
112107neneqd 2669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  -.  A  =  b )
113 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( D
(⟂G `  G ) ( A L b )  \/  A  =  b ) )
114113orcomd 388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( A  =  b  \/  D
(⟂G `  G ) ( A L b ) ) )
115114ord 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( -.  A  =  b  ->  D (⟂G `  G )
( A L b ) ) )
116112, 115mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  D (⟂G `  G ) ( A L b ) )
1174, 5, 6, 18, 98, 110, 111, 116perpcom 23938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( A L b ) (⟂G `  G ) D )
118109, 117eqbrtrrd 4475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( A L ( A (midG `  G ) b ) ) (⟂G `  G
) D )
11989, 90, 95, 96, 97, 118rmoi2 3439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  x  =  ( A (midG `  G
) b ) )
120119eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( A
(midG `  G )
b )  =  x )
12183ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  x  e.  P )
1224, 5, 6, 98, 101, 99, 100, 13, 121ismidb 23968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  ( b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )  <->  ( A (midG `  G
) b )  =  x ) )
123120, 122mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )  ->  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)
124 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)
12579ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  G  e. TarskiG )
1269ad5antr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  GDimTarskiG 2 )
12786ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  A  e.  P )
128 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  b  e.  P )
12983ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  x  e.  P )
1304, 5, 6, 125, 126, 127, 128, 13, 129ismidb 23968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  ( b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )  <->  ( A (midG `  G
) b )  =  x ) )
131124, 130mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  ( A
(midG `  G )
b )  =  x )
13282ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  x  e.  D )
133131, 132eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  ( A
(midG `  G )
b )  e.  D
)
134125adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  G  e. TarskiG )
135 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )
13618, 134, 135perpln1 23935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  ( A L x )  e. 
ran  L )
13781ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  D  e.  ran  L )
1384, 5, 6, 18, 134, 136, 137, 135perpcom 23938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  D
(⟂G `  G ) ( A L x ) )
139127adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  A  e.  P )
140129adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  x  e.  P )
1414, 6, 18, 134, 139, 140, 136tglnne 23861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  A  =/=  x )
142128adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  b  e.  P )
143 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  A  =/=  b )
144143necomd 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  b  =/=  A )
1454, 5, 6, 18, 13, 134, 140, 84, 139mirbtwn 23891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  x  e.  ( ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
I A ) )
146124adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)
147146oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  (
b I A )  =  ( ( ( (pInvG `  G ) `  x ) `  A
) I A ) )
148145, 147eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  x  e.  ( b I A ) )
1494, 6, 18, 134, 142, 139, 140, 144, 148btwnlng1 23852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  x  e.  ( b L A ) )
1504, 6, 18, 134, 139, 140, 142, 141, 149, 144lnrot1 23856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  b  e.  ( A L x ) )
1514, 6, 18, 134, 139, 140, 141, 142, 144, 150tglineelsb2 23865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  ( A L x )  =  ( A L b ) )
152138, 151breqtrd 4477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  /\  A  =/=  b )  ->  D
(⟂G `  G ) ( A L b ) )
153152ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  ( A  =/=  b  ->  D (⟂G `  G ) ( A L b ) ) )
154153necon1bd 2685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  ( -.  D (⟂G `  G )
( A L b )  ->  A  =  b ) )
155154orrd 378 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  ( D
(⟂G `  G ) ( A L b )  \/  A  =  b ) )
156133, 155jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  /\  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
)  ->  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )
157123, 156impbida 830 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  A  e.  D
)  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  /\  b  e.  P
)  ->  ( (
( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) )  <->  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
) )
158157ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D
)  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  ->  A. b  e.  P  ( ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) )  <-> 
b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x ) `  A
) ) )
159 reu6i 3299 . . . 4  |-  ( ( ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )  e.  P  /\  A. b  e.  P  ( (
( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) )  <->  b  =  ( ( (pInvG `  G ) `  x
) `  A )
) )  ->  E! b  e.  P  (
( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) ) )
16087, 158, 159syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  A  e.  D
)  /\  x  e.  D )  /\  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )  ->  E! b  e.  P  ( ( A (midG `  G )
b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G
) ( A L b )  \/  A  =  b ) ) )
1614, 5, 6, 18, 78, 80, 85, 91footex 23943 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  ->  E. x  e.  D  ( A L x ) (⟂G `  G ) D )
162160, 161r19.29a 3008 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  D )  ->  E! b  e.  P  (
( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) ) )
16377, 162pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  E! b  e.  P  ( ( A (midG `  G ) b )  e.  D  /\  ( D (⟂G `  G )
( A L b )  \/  A  =  b ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E!wreu 2819   E*wrmo 2820   class class class wbr 4453   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   2c2 10597   Basecbs 14507   distcds 14581  TarskiGcstrkg 23691  DimTarskiGcstrkgld 23695  Itvcitv 23698  LineGclng 23699  pInvGcmir 23885  ⟂Gcperpg 23920  midGcmid 23962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-s2 12793  df-s3 12794  df-trkgc 23710  df-trkgb 23711  df-trkgcb 23712  df-trkgld 23714  df-trkg 23716  df-cgrg 23769  df-leg 23835  df-mir 23886  df-rag 23919  df-perpg 23921  df-mid 23964
This theorem is referenced by:  lmif  23975  islmib  23977
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