MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmrnlss Structured version   Unicode version

Theorem lmhmrnlss 17832
Description: The range of a homomorphism is a submodule. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmrnlss  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ran  F  e.  ( LSubSp `  T )
)

Proof of Theorem lmhmrnlss
StepHypRef Expression
1 eqid 2396 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2 eqid 2396 . . . 4  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
31, 2lmhmf 17816 . . 3  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
4 ffn 5656 . . 3  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
5 fnima 5624 . . 3  |-  ( F  Fn  ( Base `  S
)  ->  ( F " ( Base `  S
) )  =  ran  F )
63, 4, 53syl 20 . 2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( F " ( Base `  S
) )  =  ran  F )
7 lmhmlmod1 17815 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )
8 eqid 2396 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  S )  =  (
LSubSp `  S )
91, 8lss1 17721 . . . 4  |-  ( S  e.  LMod  ->  ( Base `  S )  e.  (
LSubSp `  S ) )
107, 9syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( Base `  S )  e.  (
LSubSp `  S ) )
11 eqid 2396 . . . 4  |-  ( LSubSp `  T )  =  (
LSubSp `  T )
128, 11lmhmima 17829 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( Base `  S )  e.  ( LSubSp `  S )
)  ->  ( F " ( Base `  S
) )  e.  (
LSubSp `  T ) )
1310, 12mpdan 666 . 2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( F " ( Base `  S
) )  e.  (
LSubSp `  T ) )
146, 13eqeltrrd 2485 1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ran  F  e.  ( LSubSp `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1836   ran crn 4931   "cima 4933    Fn wfn 5508   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   Basecbs 14657   LModclmod 17648   LSubSpclss 17714   LMHom clmhm 17801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-0g 14872  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-grp 16197  df-minusg 16198  df-sbg 16199  df-subg 16338  df-ghm 16405  df-mgp 17278  df-ur 17290  df-ring 17336  df-lmod 17650  df-lss 17715  df-lmhm 17804
This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  31238  lmhmlnmsplit  31239
  Copyright terms: Public domain W3C validator