Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmpropd Structured version   Unicode version

Theorem lmhmpropd 17846
 Description: Module homomorphism depends only on the module attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmpropd.a
lmhmpropd.b
lmhmpropd.c
lmhmpropd.d
lmhmpropd.1 Scalar
lmhmpropd.2 Scalar
lmhmpropd.3 Scalar
lmhmpropd.4 Scalar
lmhmpropd.p
lmhmpropd.q
lmhmpropd.e
lmhmpropd.f
lmhmpropd.g
lmhmpropd.h
Assertion
Ref Expression
lmhmpropd LMHom LMHom
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem lmhmpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmpropd.a . . . . . 6
2 lmhmpropd.c . . . . . 6
3 lmhmpropd.e . . . . . 6
4 lmhmpropd.1 . . . . . 6 Scalar
5 lmhmpropd.3 . . . . . 6 Scalar
6 lmhmpropd.p . . . . . 6
7 lmhmpropd.g . . . . . 6
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lmodpropd 17700 . . . . 5
9 lmhmpropd.b . . . . . 6
10 lmhmpropd.d . . . . . 6
11 lmhmpropd.f . . . . . 6
12 lmhmpropd.2 . . . . . 6 Scalar
13 lmhmpropd.4 . . . . . 6 Scalar
14 lmhmpropd.q . . . . . 6
15 lmhmpropd.h . . . . . 6
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodpropd 17700 . . . . 5
178, 16anbi12d 710 . . . 4
187oveqrspc2v 6319 . . . . . . . . . . 11
1918adantlr 714 . . . . . . . . . 10
2019fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
21 simpll 753 . . . . . . . . . 10
22 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
23 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . 13
2423fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12
2524, 14, 63eqtr4g 2523 . . . . . . . . . . 11
2622, 25eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . 10
27 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . 13
28 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
29 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
3028, 29ghmf 16398 . . . . . . . . . . . . 13
3127, 30syl 16 . . . . . . . . . . . 12
32 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13
3321, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3432, 33eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . 12
3531, 34ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . 11
3621, 9syl 16 . . . . . . . . . . 11
3735, 36eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . 10
3815oveqrspc2v 6319 . . . . . . . . . 10
3921, 26, 37, 38syl12anc 1226 . . . . . . . . 9
4020, 39eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
41402ralbidva 2899 . . . . . . 7
4241pm5.32da 641 . . . . . 6
43 df-3an 975 . . . . . 6
44 df-3an 975 . . . . . 6
4542, 43, 443bitr4g 288 . . . . 5
4612, 4eqeq12d 2479 . . . . . 6 Scalar Scalar
474fveq2d 5876 . . . . . . . 8 Scalar
486, 47syl5eq 2510 . . . . . . 7 Scalar
491raleqdv 3060 . . . . . . 7
5048, 49raleqbidv 3068 . . . . . 6 Scalar
5146, 503anbi23d 1302 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
521, 9, 2, 10, 3, 11ghmpropd 16431 . . . . . . 7
5352eleq2d 2527 . . . . . 6
5413, 5eqeq12d 2479 . . . . . 6 Scalar Scalar
555fveq2d 5876 . . . . . . . 8 Scalar
566, 55syl5eq 2510 . . . . . . 7 Scalar
572raleqdv 3060 . . . . . . 7
5856, 57raleqbidv 3068 . . . . . 6 Scalar
5953, 54, 583anbi123d 1299 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
6045, 51, 593bitr3d 283 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
6117, 60anbi12d 710 . . 3 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
62 eqid 2457 . . . 4 Scalar Scalar
63 eqid 2457 . . . 4 Scalar Scalar
64 eqid 2457 . . . 4 Scalar Scalar
65 eqid 2457 . . . 4
66 eqid 2457 . . . 4
6762, 63, 64, 28, 65, 66islmhm 17800 . . 3 LMHom Scalar Scalar Scalar
68 eqid 2457 . . . 4 Scalar Scalar
69 eqid 2457 . . . 4 Scalar Scalar
70 eqid 2457 . . . 4 Scalar Scalar
71 eqid 2457 . . . 4
72 eqid 2457 . . . 4
73 eqid 2457 . . . 4
7468, 69, 70, 71, 72, 73islmhm 17800 . . 3 LMHom Scalar Scalar Scalar
7561, 67, 743bitr4g 288 . 2 LMHom LMHom
7675eqrdv 2454 1 LMHom LMHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14644   cplusg 14712  Scalarcsca 14715  cvsca 14716   cghm 16391  clmod 17639   LMHom clmhm 17792 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-ghm 16392  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641  df-lmhm 17795 This theorem is referenced by:  phlpropd  18817
 Copyright terms: Public domain W3C validator