Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmpreima Structured version   Unicode version

Theorem lmhmpreima 18258
 Description: The inverse image of a subspace under a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmima.x
lmhmima.y
Assertion
Ref Expression
lmhmpreima LMHom

Proof of Theorem lmhmpreima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmghm 18241 . . . 4 LMHom
21adantr 466 . . 3 LMHom
3 lmhmlmod2 18242 . . . 4 LMHom
4 lmhmima.y . . . . 5
54lsssubg 18167 . . . 4 SubGrp
63, 5sylan 473 . . 3 LMHom SubGrp
7 ghmpreima 16891 . . 3 SubGrp SubGrp
82, 6, 7syl2anc 665 . 2 LMHom SubGrp
9 lmhmlmod1 18243 . . . . . 6 LMHom
109ad2antrr 730 . . . . 5 LMHom Scalar
11 simprl 762 . . . . 5 LMHom Scalar Scalar
12 cnvimass 5203 . . . . . . . 8
13 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
14 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
1513, 14lmhmf 18244 . . . . . . . . . 10 LMHom
1615adantr 466 . . . . . . . . 9 LMHom
17 fdm 5746 . . . . . . . . 9
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 LMHom
1912, 18syl5sseq 3512 . . . . . . 7 LMHom
2019sselda 3464 . . . . . 6 LMHom
2120adantrl 720 . . . . 5 LMHom Scalar
22 eqid 2422 . . . . . 6 Scalar Scalar
23 eqid 2422 . . . . . 6
24 eqid 2422 . . . . . 6 Scalar Scalar
2513, 22, 23, 24lmodvscl 18095 . . . . 5 Scalar
2610, 11, 21, 25syl3anc 1264 . . . 4 LMHom Scalar
27 simpll 758 . . . . . 6 LMHom Scalar LMHom
28 eqid 2422 . . . . . . 7
2922, 24, 13, 23, 28lmhmlin 18245 . . . . . 6 LMHom Scalar
3027, 11, 21, 29syl3anc 1264 . . . . 5 LMHom Scalar
313ad2antrr 730 . . . . . 6 LMHom Scalar
32 simplr 760 . . . . . 6 LMHom Scalar
33 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
3422, 33lmhmsca 18240 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar Scalar
3534adantr 466 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar Scalar
3635fveq2d 5881 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar Scalar
3736eleq2d 2492 . . . . . . . 8 LMHom Scalar Scalar
3837biimpar 487 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar
3938adantrr 721 . . . . . 6 LMHom Scalar Scalar
40 ffun 5744 . . . . . . . . 9
4116, 40syl 17 . . . . . . . 8 LMHom
4241adantr 466 . . . . . . 7 LMHom Scalar
43 simprr 764 . . . . . . 7 LMHom Scalar
44 fvimacnvi 6007 . . . . . . 7
4542, 43, 44syl2anc 665 . . . . . 6 LMHom Scalar
46 eqid 2422 . . . . . . 7 Scalar Scalar
4733, 28, 46, 4lssvscl 18165 . . . . . 6 Scalar
4831, 32, 39, 45, 47syl22anc 1265 . . . . 5 LMHom Scalar
4930, 48eqeltrd 2510 . . . 4 LMHom Scalar
50 ffn 5742 . . . . . 6
51 elpreima 6013 . . . . . 6
5216, 50, 513syl 18 . . . . 5 LMHom
5352adantr 466 . . . 4 LMHom Scalar
5426, 49, 53mpbir2and 930 . . 3 LMHom Scalar
5554ralrimivva 2846 . 2 LMHom Scalar
569adantr 466 . . 3 LMHom
57 lmhmima.x . . . 4
5822, 24, 13, 23, 57islss4 18172 . . 3 SubGrp Scalar
5956, 58syl 17 . 2 LMHom SubGrp Scalar
608, 55, 59mpbir2and 930 1 LMHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775  ccnv 4848   cdm 4849  cima 4852   wfun 5591   wfn 5592  wf 5593  cfv 5597  (class class class)co 6301  cbs 15108  Scalarcsca 15180  cvsca 15181  SubGrpcsubg 16798   cghm 16867  clmod 18078  clss 18142   LMHom clmhm 18229 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-sbg 16662  df-subg 16801  df-ghm 16868  df-mgp 17711  df-ur 17723  df-ring 17769  df-lmod 18080  df-lss 18143  df-lmhm 18232 This theorem is referenced by:  lmhmlsp  18259  lmhmkerlss  18261  lnmepi  35862
 Copyright terms: Public domain W3C validator