Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmplusg Structured version   Unicode version

Theorem lmhmplusg 18202
 Description: The pointwise sum of two linear functions is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lmhmplusg.p
Assertion
Ref Expression
lmhmplusg LMHom LMHom LMHom

Proof of Theorem lmhmplusg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . 2
2 eqid 2429 . 2
3 eqid 2429 . 2
4 eqid 2429 . 2 Scalar Scalar
5 eqid 2429 . 2 Scalar Scalar
6 eqid 2429 . 2 Scalar Scalar
7 lmhmlmod1 18191 . . 3 LMHom
87adantr 466 . 2 LMHom LMHom
9 lmhmlmod2 18190 . . 3 LMHom
109adantr 466 . 2 LMHom LMHom
114, 5lmhmsca 18188 . . 3 LMHom Scalar Scalar
1211adantr 466 . 2 LMHom LMHom Scalar Scalar
13 lmodabl 18070 . . . 4
1410, 13syl 17 . . 3 LMHom LMHom
15 lmghm 18189 . . . 4 LMHom
1615adantr 466 . . 3 LMHom LMHom
17 lmghm 18189 . . . 4 LMHom
1817adantl 467 . . 3 LMHom LMHom
19 lmhmplusg.p . . . 4
2019ghmplusg 17419 . . 3
2114, 16, 18, 20syl3anc 1264 . 2 LMHom LMHom
22 simpll 758 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar LMHom
23 simprl 762 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar Scalar
24 simprr 764 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
254, 6, 1, 2, 3lmhmlin 18193 . . . . . 6 LMHom Scalar
2622, 23, 24, 25syl3anc 1264 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
27 simplr 760 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar LMHom
284, 6, 1, 2, 3lmhmlin 18193 . . . . . 6 LMHom Scalar
2927, 23, 24, 28syl3anc 1264 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
3026, 29oveq12d 6323 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
319ad2antrr 730 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
3211fveq2d 5885 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar
3332ad2antrr 730 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar Scalar Scalar
3423, 33eleqtrrd 2520 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar Scalar
35 eqid 2429 . . . . . . . 8
361, 35lmhmf 18192 . . . . . . 7 LMHom
3736ad2antrr 730 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
3837, 24ffvelrnd 6038 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
391, 35lmhmf 18192 . . . . . . 7 LMHom
4039ad2antlr 731 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
4140, 24ffvelrnd 6038 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
42 eqid 2429 . . . . . 6 Scalar Scalar
4335, 19, 5, 3, 42lmodvsdi 18049 . . . . 5 Scalar
4431, 34, 38, 41, 43syl13anc 1266 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
4530, 44eqtr4d 2473 . . 3 LMHom LMHom Scalar
46 ffn 5746 . . . . 5
4737, 46syl 17 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
48 ffn 5746 . . . . 5
4940, 48syl 17 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
50 fvex 5891 . . . . 5
5150a1i 11 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
527ad2antrr 730 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
531, 4, 2, 6lmodvscl 18043 . . . . 5 Scalar
5452, 23, 24, 53syl3anc 1264 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
55 fnfvof 6559 . . . 4
5647, 49, 51, 54, 55syl22anc 1265 . . 3 LMHom LMHom Scalar
57 fnfvof 6559 . . . . 5
5847, 49, 51, 24, 57syl22anc 1265 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
5958oveq2d 6321 . . 3 LMHom LMHom Scalar
6045, 56, 593eqtr4d 2480 . 2 LMHom LMHom Scalar
611, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 21, 60islmhmd 18197 1 LMHom LMHom LMHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cof 6543  cbs 15084   cplusg 15152  Scalarcsca 15155  cvsca 15156   cghm 16831  cabl 17366  clmod 18026   LMHom clmhm 18177 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-ghm 16832  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-lmod 18028  df-lmhm 18180 This theorem is referenced by:  nmhmplusg  21689  mendring  35757
 Copyright terms: Public domain W3C validator