Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmplusg Structured version   Unicode version

Theorem lmhmplusg 17490
 Description: The pointwise sum of two linear functions is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lmhmplusg.p
Assertion
Ref Expression
lmhmplusg LMHom LMHom LMHom

Proof of Theorem lmhmplusg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . 2
2 eqid 2467 . 2
3 eqid 2467 . 2
4 eqid 2467 . 2 Scalar Scalar
5 eqid 2467 . 2 Scalar Scalar
6 eqid 2467 . 2 Scalar Scalar
7 lmhmlmod1 17479 . . 3 LMHom
87adantr 465 . 2 LMHom LMHom
9 lmhmlmod2 17478 . . 3 LMHom
109adantr 465 . 2 LMHom LMHom
114, 5lmhmsca 17476 . . 3 LMHom Scalar Scalar
1211adantr 465 . 2 LMHom LMHom Scalar Scalar
13 lmodabl 17357 . . . 4
1410, 13syl 16 . . 3 LMHom LMHom
15 lmghm 17477 . . . 4 LMHom
1615adantr 465 . . 3 LMHom LMHom
17 lmghm 17477 . . . 4 LMHom
1817adantl 466 . . 3 LMHom LMHom
19 lmhmplusg.p . . . 4
2019ghmplusg 16655 . . 3
2114, 16, 18, 20syl3anc 1228 . 2 LMHom LMHom
22 simpll 753 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar LMHom
23 simprl 755 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar Scalar
24 simprr 756 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
254, 6, 1, 2, 3lmhmlin 17481 . . . . . 6 LMHom Scalar
2622, 23, 24, 25syl3anc 1228 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
27 simplr 754 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar LMHom
284, 6, 1, 2, 3lmhmlin 17481 . . . . . 6 LMHom Scalar
2927, 23, 24, 28syl3anc 1228 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
3026, 29oveq12d 6302 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
319ad2antrr 725 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
3211fveq2d 5870 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar
3332ad2antrr 725 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar Scalar Scalar
3423, 33eleqtrrd 2558 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar Scalar
35 eqid 2467 . . . . . . . 8
361, 35lmhmf 17480 . . . . . . 7 LMHom
3736ad2antrr 725 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
3837, 24ffvelrnd 6022 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
391, 35lmhmf 17480 . . . . . . 7 LMHom
4039ad2antlr 726 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
4140, 24ffvelrnd 6022 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
42 eqid 2467 . . . . . 6 Scalar Scalar
4335, 19, 5, 3, 42lmodvsdi 17335 . . . . 5 Scalar
4431, 34, 38, 41, 43syl13anc 1230 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
4530, 44eqtr4d 2511 . . 3 LMHom LMHom Scalar
46 ffn 5731 . . . . 5
4737, 46syl 16 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
48 ffn 5731 . . . . 5
4940, 48syl 16 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
50 fvex 5876 . . . . 5
5150a1i 11 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
527ad2antrr 725 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
531, 4, 2, 6lmodvscl 17329 . . . . 5 Scalar
5452, 23, 24, 53syl3anc 1228 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
55 fnfvof 6537 . . . 4
5647, 49, 51, 54, 55syl22anc 1229 . . 3 LMHom LMHom Scalar
57 fnfvof 6537 . . . . 5
5847, 49, 51, 24, 57syl22anc 1229 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
5958oveq2d 6300 . . 3 LMHom LMHom Scalar
6045, 56, 593eqtr4d 2518 . 2 LMHom LMHom Scalar
611, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 21, 60islmhmd 17485 1 LMHom LMHom LMHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113   wfn 5583  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284   cof 6522  cbs 14490   cplusg 14555  Scalarcsca 14558  cvsca 14559   cghm 16069  cabl 16605  clmod 17312   LMHom clmhm 17465 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-ghm 16070  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-lmod 17314  df-lmhm 17468 This theorem is referenced by:  nmhmplusg  21027  mendrng  30774
 Copyright terms: Public domain W3C validator