MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlmod2 Structured version   Unicode version

Theorem lmhmlmod2 17791
Description: A homomorphism of left modules has a left module as codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmlmod2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  T  e.  LMod )

Proof of Theorem lmhmlmod2
StepHypRef Expression
1 eqid 2382 . . 3  |-  (Scalar `  S )  =  (Scalar `  S )
2 eqid 2382 . . 3  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
31, 2lmhmlem 17788 . 2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  S ) ) ) )
4 simplr 753 . 2  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  S )
) )  ->  T  e.  LMod )
53, 4syl 16 1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  T  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   ` cfv 5496  (class class class)co 6196  Scalarcsca 14705    GrpHom cghm 16381   LModclmod 17625   LMHom clmhm 17778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-lmhm 17781
This theorem is referenced by:  lmhmco  17802  lmhmplusg  17803  lmhmvsca  17804  lmhmf1o  17805  lmhmima  17806  lmhmpreima  17807  lmhmlsp  17808  lmhmkerlss  17810  reslmhm  17811  islmim  17821  lmicrcl  17830  lindfmm  18947  lindsmm  18948  lmhmclm  21671  lmhmfgima  31196  lnmepi  31197  lmhmfgsplit  31198  lmhmlnmsplit  31199
  Copyright terms: Public domain W3C validator