MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlmod2 Unicode version

Theorem lmhmlmod2 16063
Description: A homomorphism of left modules has a left module as codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmlmod2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  T  e.  LMod )

Proof of Theorem lmhmlmod2
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  (Scalar `  S )  =  (Scalar `  S )
2 eqid 2404 . . 3  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
31, 2lmhmlem 16060 . 2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  S ) ) ) )
4 simplr 732 . 2  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  S )
) )  ->  T  e.  LMod )
53, 4syl 16 1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  T  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040  Scalarcsca 13487    GrpHom cghm 14958   LModclmod 15905   LMHom clmhm 16050
This theorem is referenced by:  lmhmco  16074  lmhmplusg  16075  lmhmvsca  16076  lmhmf1o  16077  lmhmima  16078  lmhmpreima  16079  lmhmlsp  16080  lmhmkerlss  16082  reslmhm  16083  islmim  16089  lmicrcl  16098  lmhmclm  19064  lmhmfgima  27050  lnmepi  27051  lmhmfgsplit  27052  lmhmlnmsplit  27053  lindfmm  27165  lindsmm  27166
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-lmhm 16053
  Copyright terms: Public domain W3C validator