MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlmod1 Structured version   Unicode version

Theorem lmhmlmod1 17455
Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmlmod1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )

Proof of Theorem lmhmlmod1
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . 4  |-  (Scalar `  S )  =  (Scalar `  S )
2 eqid 2460 . . . 4  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
31, 2lmhmlem 17451 . . 3  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  S ) ) ) )
43simpld 459 . 2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod ) )
54simpld 459 1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275  Scalarcsca 14547    GrpHom cghm 16052   LModclmod 17288   LMHom clmhm 17441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-lmhm 17444
This theorem is referenced by:  islmhm2  17460  lmhmco  17465  lmhmplusg  17466  lmhmvsca  17467  lmhmf1o  17468  lmhmima  17469  lmhmpreima  17470  lmhmlsp  17471  lmhmrnlss  17472  reslmhm  17474  reslmhm2  17475  reslmhm2b  17476  lmhmeql  17477  lspextmo  17478  islmim  17484  lmiclcl  17492  lindfmm  18622  lindsmm  18623  lmhmclm  21314  kercvrlsm  30486  lmhmfgima  30487  lmhmfgsplit  30489  lmhmlnmsplit  30490
  Copyright terms: Public domain W3C validator