MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlmod1 Structured version   Unicode version

Theorem lmhmlmod1 17220
Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmlmod1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )

Proof of Theorem lmhmlmod1
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . 4  |-  (Scalar `  S )  =  (Scalar `  S )
2 eqid 2451 . . . 4  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
31, 2lmhmlem 17216 . . 3  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  S ) ) ) )
43simpld 459 . 2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod ) )
54simpld 459 1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5516  (class class class)co 6190  Scalarcsca 14343    GrpHom cghm 15846   LModclmod 17054   LMHom clmhm 17206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-lmhm 17209
This theorem is referenced by:  islmhm2  17225  lmhmco  17230  lmhmplusg  17231  lmhmvsca  17232  lmhmf1o  17233  lmhmima  17234  lmhmpreima  17235  lmhmlsp  17236  lmhmrnlss  17237  reslmhm  17239  reslmhm2  17240  reslmhm2b  17241  lmhmeql  17242  lspextmo  17243  islmim  17249  lmiclcl  17257  lindfmm  18365  lindsmm  18366  lmhmclm  20774  kercvrlsm  29574  lmhmfgima  29575  lmhmfgsplit  29577  lmhmlnmsplit  29578
  Copyright terms: Public domain W3C validator