MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlmod1 Structured version   Unicode version

Theorem lmhmlmod1 17999
Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmlmod1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )

Proof of Theorem lmhmlmod1
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  (Scalar `  S )  =  (Scalar `  S )
2 eqid 2402 . . 3  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
31, 2lmhmlem 17995 . 2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  S ) ) ) )
43simplld 753 1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278  Scalarcsca 14912    GrpHom cghm 16588   LModclmod 17832   LMHom clmhm 17985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-lmhm 17988
This theorem is referenced by:  islmhm2  18004  lmhmco  18009  lmhmplusg  18010  lmhmvsca  18011  lmhmf1o  18012  lmhmima  18013  lmhmpreima  18014  lmhmlsp  18015  lmhmrnlss  18016  reslmhm  18018  reslmhm2  18019  reslmhm2b  18020  lmhmeql  18021  lspextmo  18022  islmim  18028  lmiclcl  18036  lindfmm  19154  lindsmm  19155  lmhmclm  21878  kercvrlsm  35391  lmhmfgima  35392  lmhmfgsplit  35394  lmhmlnmsplit  35395
  Copyright terms: Public domain W3C validator