Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmima Structured version   Unicode version

Theorem lmhmima 17473
 Description: The image of a subspace under a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmima.x
lmhmima.y
Assertion
Ref Expression
lmhmima LMHom

Proof of Theorem lmhmima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmghm 17457 . . . 4 LMHom
21adantr 465 . . 3 LMHom
3 lmhmlmod1 17459 . . . . 5 LMHom
43adantr 465 . . . 4 LMHom
5 simpr 461 . . . 4 LMHom
6 lmhmima.x . . . . 5
76lsssubg 17383 . . . 4 SubGrp
84, 5, 7syl2anc 661 . . 3 LMHom SubGrp
9 ghmima 16079 . . 3 SubGrp SubGrp
102, 8, 9syl2anc 661 . 2 LMHom SubGrp
11 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
12 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
1311, 12lmhmf 17460 . . . . . . . . 9 LMHom
1413adantr 465 . . . . . . . 8 LMHom
15 ffn 5729 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7 LMHom
1711, 6lssss 17363 . . . . . . . 8
185, 17syl 16 . . . . . . 7 LMHom
19 fvelimab 5921 . . . . . . 7
2016, 18, 19syl2anc 661 . . . . . 6 LMHom
2120adantr 465 . . . . 5 LMHom Scalar
22 simpll 753 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar LMHom
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
24 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
2523, 24lmhmsca 17456 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom Scalar Scalar
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar Scalar
2726fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom Scalar Scalar
2827eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12 LMHom Scalar Scalar
2928biimpa 484 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar Scalar
3029adantrr 716 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar Scalar
3118sselda 3504 . . . . . . . . . . 11 LMHom
3231adantrl 715 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar
33 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
34 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
35 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
3623, 33, 11, 34, 35lmhmlin 17461 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar
3722, 30, 32, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar
3822, 13, 153syl 20 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar
39 simplr 754 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar
4039, 17syl 16 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar
414adantr 465 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar
42 simprr 756 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar
4323, 34, 33, 6lssvscl 17381 . . . . . . . . . . 11 Scalar
4441, 39, 30, 42, 43syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar
45 fnfvima 6136 . . . . . . . . . 10
4638, 40, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar
4737, 46eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8 LMHom Scalar
4847anassrs 648 . . . . . . 7 LMHom Scalar
49 oveq2 6290 . . . . . . . 8
5049eleq1d 2536 . . . . . . 7
5148, 50syl5ibcom 220 . . . . . 6 LMHom Scalar
5251rexlimdva 2955 . . . . 5 LMHom Scalar
5321, 52sylbid 215 . . . 4 LMHom Scalar
5453impr 619 . . 3 LMHom Scalar
5554ralrimivva 2885 . 2 LMHom Scalar
56 lmhmlmod2 17458 . . . 4 LMHom
5756adantr 465 . . 3 LMHom
58 eqid 2467 . . . 4 Scalar Scalar
59 lmhmima.y . . . 4
6024, 58, 12, 35, 59islss4 17388 . . 3 SubGrp Scalar
6157, 60syl 16 . 2 LMHom SubGrp Scalar
6210, 55, 61mpbir2and 920 1 LMHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815   wss 3476  cima 5002   wfn 5581  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282  cbs 14483  Scalarcsca 14551  cvsca 14552  SubGrpcsubg 15987   cghm 16056  clmod 17292  clss 17358   LMHom clmhm 17445 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lmhm 17448 This theorem is referenced by:  lmhmlsp  17475  lmhmrnlss  17476
 Copyright terms: Public domain W3C validator