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Theorem lmfval 19496
Description: The relation "sequence  f converges to point  y " in a metric space. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmfval  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ~~> t `  J )  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
Distinct variable groups:    y, f, x, X    u, f, J, x, y
Allowed substitution hint:    X( u)

Proof of Theorem lmfval
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lm 19493 . . 3  |-  ~~> t  =  ( j  e.  Top  |->  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  /\  x  e. 
U. j  /\  A. u  e.  j  (
x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
21a1i 11 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ~~> t  =  ( j  e.  Top  |->  {
<. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  /\  x  e.  U. j  /\  A. u  e.  j  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } ) )
3 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  j  =  J )
43unieqd 4255 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  U. j  =  U. J )
5 toponuni 19192 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
65adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  X  =  U. J )
74, 6eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  U. j  =  X )
87oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  ( U. j  ^pm  CC )  =  ( X  ^pm  CC ) )
98eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  (
f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  <->  f  e.  ( X  ^pm  CC ) ) )
107eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  (
x  e.  U. j  <->  x  e.  X ) )
113raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  ( A. u  e.  j 
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) )
129, 10, 113anbi123d 1299 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  (
( f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  /\  x  e.  U. j  /\  A. u  e.  j  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) ) )
1312opabbidv 4510 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  /\  x  e.  U. j  /\  A. u  e.  j  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) }  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
14 topontop 19191 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
15 df-3an 975 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X )  /\  A. u  e.  J  (
x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) )
1615opabbii 4511 . . . 4  |-  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }  =  { <. f ,  x >.  |  (
( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }
17 opabssxp 5072 . . . 4  |-  { <. f ,  x >.  |  ( ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } 
C_  ( ( X 
^pm  CC )  X.  X
)
1816, 17eqsstri 3534 . . 3  |-  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } 
C_  ( ( X 
^pm  CC )  X.  X
)
19 ovex 6307 . . . 4  |-  ( X 
^pm  CC )  e.  _V
20 toponmax 19193 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
21 xpexg 6709 . . . 4  |-  ( ( ( X  ^pm  CC )  e.  _V  /\  X  e.  J )  ->  (
( X  ^pm  CC )  X.  X )  e. 
_V )
2219, 20, 21sylancr 663 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ( X  ^pm  CC )  X.  X )  e.  _V )
23 ssexg 4593 . . 3  |-  ( ( { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) }  C_  ( ( X  ^pm  CC )  X.  X )  /\  ( ( X 
^pm  CC )  X.  X
)  e.  _V )  ->  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) }  e.  _V )
2418, 22, 23sylancr 663 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  { <. f ,  x >.  |  (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }  e.  _V )
252, 13, 14, 24fvmptd 5953 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ~~> t `  J )  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   U.cuni 4245   {copab 4504    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^pm cpm 7418   CCcc 9486   ZZ>=cuz 11078   Topctop 19158  TopOnctopon 19159   ~~> tclm 19490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-top 19163  df-topon 19166  df-lm 19493
This theorem is referenced by:  lmbr  19522  sslm  19563
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