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Theorem lmfval 20026
Description: The relation "sequence  f converges to point  y " in a metric space. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmfval  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ~~> t `  J )  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
Distinct variable groups:    y, f, x, X    u, f, J, x, y
Allowed substitution hint:    X( u)

Proof of Theorem lmfval
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lm 20023 . . 3  |-  ~~> t  =  ( j  e.  Top  |->  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  /\  x  e. 
U. j  /\  A. u  e.  j  (
x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
21a1i 11 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ~~> t  =  ( j  e.  Top  |->  {
<. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  /\  x  e.  U. j  /\  A. u  e.  j  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } ) )
3 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  j  =  J )
43unieqd 4201 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  U. j  =  U. J )
5 toponuni 19720 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
65adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  X  =  U. J )
74, 6eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  U. j  =  X )
87oveq1d 6293 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  ( U. j  ^pm  CC )  =  ( X  ^pm  CC ) )
98eleq2d 2472 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  (
f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  <->  f  e.  ( X  ^pm  CC ) ) )
107eleq2d 2472 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  (
x  e.  U. j  <->  x  e.  X ) )
113raleqdv 3010 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  ( A. u  e.  j 
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) )
129, 10, 113anbi123d 1301 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  (
( f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  /\  x  e.  U. j  /\  A. u  e.  j  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) ) )
1312opabbidv 4458 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  /\  x  e.  U. j  /\  A. u  e.  j  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) }  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
14 topontop 19719 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
15 df-3an 976 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X )  /\  A. u  e.  J  (
x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) )
1615opabbii 4459 . . . 4  |-  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }  =  { <. f ,  x >.  |  (
( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }
17 opabssxp 4898 . . . 4  |-  { <. f ,  x >.  |  ( ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } 
C_  ( ( X 
^pm  CC )  X.  X
)
1816, 17eqsstri 3472 . . 3  |-  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } 
C_  ( ( X 
^pm  CC )  X.  X
)
19 ovex 6306 . . . 4  |-  ( X 
^pm  CC )  e.  _V
20 toponmax 19721 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
21 xpexg 6584 . . . 4  |-  ( ( ( X  ^pm  CC )  e.  _V  /\  X  e.  J )  ->  (
( X  ^pm  CC )  X.  X )  e. 
_V )
2219, 20, 21sylancr 661 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ( X  ^pm  CC )  X.  X )  e.  _V )
23 ssexg 4540 . . 3  |-  ( ( { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) }  C_  ( ( X  ^pm  CC )  X.  X )  /\  ( ( X 
^pm  CC )  X.  X
)  e.  _V )  ->  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) }  e.  _V )
2418, 22, 23sylancr 661 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  { <. f ,  x >.  |  (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }  e.  _V )
252, 13, 14, 24fvmptd 5938 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ~~> t `  J )  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   U.cuni 4191   {copab 4452    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   ran crn 4824    |` cres 4825   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^pm cpm 7458   CCcc 9520   ZZ>=cuz 11127   Topctop 19686  TopOnctopon 19687   ~~> tclm 20020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-ov 6281  df-top 19691  df-topon 19694  df-lm 20023
This theorem is referenced by:  lmbr  20052  sslm  20093
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