Theorem lmfval 9203

Description: The relation "sequence f converges to point y " in a metric space.

Hypothesis

Ref	Expression
lmfval.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
lmfval	|- (D e. Met -> (~~>m` D) = {<.f, y>. | (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))})

Distinct variable groups:   f,j,k,x,y,D   f,X,y

Proof of Theorem lmfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 3457	. . 3 |- (({<.f, y>. | (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))} C_ (~P(CC X. X) X. X) /\ (~P(CC X. X) X. X) e. _V) -> {<.f, y>. | (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))} e. _V)
2		df-3an 860	. . . . . 6 |- ((f e. ~P(CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x)))) <-> ((f e. ~P(CC X. X) /\ y e. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x)))))
3		visset 2295	. . . . . . . 8 |- f e. _V
4	3	elpw 3037	. . . . . . 7 |- (f e. ~P(CC X. X) <-> f C_ (CC X. X))
5	4	3anbi1i 1058	. . . . . 6 |- ((f e. ~P(CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x)))) <-> (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x)))))
6	2, 5	bitr3i 192	. . . . 5 |- (((f e. ~P(CC X. X) /\ y e. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x)))) <-> (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x)))))
7	6	opabbii 3402	. . . 4 |- {<.f, y>. | ((f e. ~P(CC X. X) /\ y e. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))} = {<.f, y>. | (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))}
8		opabssxp 4060	. . . 4 |- {<.f, y>. | ((f e. ~P(CC X. X) /\ y e. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))} C_ (~P(CC X. X) X. X)
9	7, 8	eqsstr3i 2648	. . 3 |- {<.f, y>. | (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))} C_ (~P(CC X. X) X. X)
10		dmexg 4206	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> dom D e. _V)
11		dmexg 4206	. . . . . . 7 |- (dom D e. _V -> dom dom D e. _V)
12	10, 11	syl 12	. . . . . 6 |- (D e. Met -> dom dom D e. _V)
13		lmfval.1	. . . . . 6 |- X = dom dom D
14	12, 13	syl5eqel 1975	. . . . 5 |- (D e. Met -> X e. _V)
15		axcnex 6419	. . . . . 6 |- CC e. _V
16		xpexg 4095	. . . . . 6 |- ((CC e. _V /\ X e. _V) -> (CC X. X) e. _V)
17	15, 16	mpan 759	. . . . 5 |- (X e. _V -> (CC X. X) e. _V)
18		pwexg 3489	. . . . 5 |- ((CC X. X) e. _V -> ~P(CC X. X) e. _V)
19	14, 17, 18	3syl 24	. . . 4 |- (D e. Met -> ~P(CC X. X) e. _V)
20		xpexg 4095	. . . 4 |- ((~P(CC X. X) e. _V /\ X e. _V) -> (~P(CC X. X) X. X) e. _V)
21	19, 14, 20	syl11anc 524	. . 3 |- (D e. Met -> (~P(CC X. X) X. X) e. _V)
22	1, 9, 21	sylancr 526	. 2 |- (D e. Met -> {<.f, y>. | (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))} e. _V)
23		dmeq 4157	. . . . . . . . 9 |- (z = D -> dom z = dom D)
24	23	dmeqd 4159	. . . . . . . 8 |- (z = D -> dom dom z = dom dom D)
25	24, 13	syl6eqr 1946	. . . . . . 7 |- (z = D -> dom dom z = X)
26		xpeq2 4017	. . . . . . 7 |- (dom dom z = X -> (CC X. dom dom z) = (CC X. X))
27	25, 26	syl 12	. . . . . 6 |- (z = D -> (CC X. dom dom z) = (CC X. X))
28	27	sseq2d 2645	. . . . 5 |- (z = D -> (f C_ (CC X. dom dom z) <-> f C_ (CC X. X)))
29	25	eleq2d 1964	. . . . 5 |- (z = D -> (y e. dom dom z <-> y e. X))
30	25	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- (z = D -> ((f` k) e. dom dom z <-> (f` k) e. X))
31	30	anbi1d 679	. . . . . . . . 9 |- (z = D -> (((f` k) e. dom dom z /\ ((f` k)Dy) < x) <-> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x)))
32	31	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (z = D -> ((j <_ k -> ((f` k) e. dom dom z /\ ((f` k)Dy) < x)) <-> (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))
33	32	rexralbidv 2142	. . . . . . 7 |- (z = D -> (E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. dom dom z /\ ((f` k)Dy) < x)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))
34	33	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (z = D -> ((0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. dom dom z /\ ((f` k)Dy) < x))) <-> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x)))))
35	34	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (z = D -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. dom dom z /\ ((f` k)Dy) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x)))))
36	28, 29, 35	3anbi123d 1168	. . . 4 |- (z = D -> ((f C_ (CC X. dom dom z) /\ y e. dom dom z /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. dom dom z /\ ((f` k)Dy) < x)))) <-> (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))))
37	36	opabbidv 3401	. . 3 |- (z = D -> {<.f, y>. | (f C_ (CC X. dom dom z) /\ y e. dom dom z /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. dom dom z /\ ((f` k)Dy) < x))))} = {<.f, y>. | (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))})
38		df-lm 9200	. . 3 |- ~~>m = {<.z, w>. | (z e. Met /\ w = {<.f, y>. | (f C_ (CC X. dom dom z) /\ y e. dom dom z /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. dom dom z /\ ((f` k)Dy) < x))))})}
39	37, 38	fvopab4g 4742	. 2 |- ((D e. Met /\ {<.f, y>. | (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))} e. _V) -> (~~>m` D) = {<.f, y>. | (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))})
40	22, 39	mpdan 768	1 |- (D e. Met -> (~~>m` D) = {<.f, y>. | (f C_ (CC X. X) /\ y e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. X /\ ((f` k)Dy) < x))))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032   class class class wbr 3338  {copab 3395   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  Metcme 9066  ~~>mclm 9197

This theorem is referenced by:  lmrel 9205  lmbr 9206  h2hlm 10482

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-qs 5323  df-ni 6152  df-nq 6190  df-np 6238  df-nr 6319  df-c 6392  df-lm 9200

Copyright terms: Public domain