MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmfun Structured version   Unicode version

Theorem lmfun 19643
Description: The convergence relation is function-like in a Hausdorff space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
lmfun  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)

Proof of Theorem lmfun
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmrel 19492 . . 3  |-  Rel  ( ~~> t `  J )
21a1i 11 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  Rel  ( ~~> t `  J )
)
3 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z ) )  ->  J  e.  Haus )
4 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z ) )  ->  x ( ~~> t `  J )
y )
5 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z ) )  ->  x ( ~~> t `  J )
z )
63, 4, 5lmmo 19642 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z ) )  ->  y  =  z )
76ex 434 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( ( x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z )  ->  y  =  z ) )
87alrimiv 1690 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. z
( ( x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z )  ->  y  =  z ) )
98alrimiv 1690 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. y A. z ( ( x ( ~~> t `  J
) y  /\  x
( ~~> t `  J
) z )  -> 
y  =  z ) )
109alrimiv 1690 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z )  ->  y  =  z ) )
11 dffun2 5591 . 2  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  <->  ( Rel  ( ~~> t `  J )  /\  A. x A. y A. z ( ( x ( ~~> t `  J
) y  /\  x
( ~~> t `  J
) z )  -> 
y  =  z ) ) )
122, 10, 11sylanbrc 664 1  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1372    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   Rel wrel 4999   Fun wfun 5575   ` cfv 5581   ~~> tclm 19488   Hauscha 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-z 10856  df-uz 11074  df-top 19161  df-topon 19164  df-lm 19491  df-haus 19577
This theorem is referenced by:  hausmapdom  19762  lmcau  21481  minvecolem4a  25457  minvecolem4b  25458  minvecolem4  25460  hlimf  25819  heiborlem9  29907  bfplem1  29910
  Copyright terms: Public domain W3C validator