Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmflf Structured version   Unicode version

Theorem lmflf 20484
 Description: The topological limit relation on functions can be written in terms of the filter limit along the filter generated by the upper integer sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmflf.1
lmflf.2
Assertion
Ref Expression
lmflf TopOn

Proof of Theorem lmflf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 11095 . . . . . . . 8
2 ffn 5721 . . . . . . . 8
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7
4 lmflf.1 . . . . . . . 8
5 uzssz 11111 . . . . . . . 8
64, 5eqsstri 3519 . . . . . . 7
7 imaeq2 5323 . . . . . . . . 9
87sseq1d 3516 . . . . . . . 8
98rexima 6136 . . . . . . 7
103, 6, 9mp2an 672 . . . . . 6
11 simpl3 1002 . . . . . . . . 9 TopOn
12 ffun 5723 . . . . . . . . 9
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8 TopOn
14 uzss 11112 . . . . . . . . . . 11
1514, 4eleq2s 2551 . . . . . . . . . 10
1615adantl 466 . . . . . . . . 9 TopOn
17 fdm 5725 . . . . . . . . . . 11
1811, 17syl 16 . . . . . . . . . 10 TopOn
1918, 4syl6eq 2500 . . . . . . . . 9 TopOn
2016, 19sseqtr4d 3526 . . . . . . . 8 TopOn
21 funimass4 5909 . . . . . . . 8
2213, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . 7 TopOn
2322rexbidva 2951 . . . . . 6 TopOn
2410, 23syl5rbb 258 . . . . 5 TopOn
2524imbi2d 316 . . . 4 TopOn
2625ralbidv 2882 . . 3 TopOn
2726anbi2d 703 . 2 TopOn
28 simp1 997 . . 3 TopOn TopOn
29 simp2 998 . . 3 TopOn
30 simp3 999 . . 3 TopOn
31 eqidd 2444 . . 3 TopOn
3228, 4, 29, 30, 31lmbrf 19739 . 2 TopOn
334uzfbas 20377 . . 3
34 lmflf.2 . . . 4
3534flffbas 20474 . . 3 TopOn
3633, 35syl3an2 1263 . 2 TopOn
3727, 32, 363bitr4d 285 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  wrex 2794   wss 3461  cpw 3997   class class class wbr 4437   cdm 4989  cima 4992   wfun 5572   wfn 5573  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cz 10871  cuz 11092  cfbas 18385  cfg 18386  TopOnctopon 19373  clm 19705   cflf 20414 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-z 10872  df-uz 11093  df-rest 14802  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-top 19377  df-topon 19380  df-ntr 19499  df-nei 19577  df-lm 19708  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419 This theorem is referenced by:  cmetcaulem  21705
 Copyright terms: Public domain W3C validator