Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmff Structured version   Unicode version

Theorem lmff 19668
 Description: If converges, there is some upper integer set on which is a total function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1
lmff.3 TopOn
lmff.4
lmff.5
Assertion
Ref Expression
lmff
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem lmff
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmff.5 . . . . . 6
2 eldm2g 5205 . . . . . . 7
32ibi 241 . . . . . 6
41, 3syl 16 . . . . 5
5 df-br 4454 . . . . . 6
65exbii 1644 . . . . 5
74, 6sylibr 212 . . . 4
8 lmff.3 . . . . . . 7 TopOn
9 toponmax 19296 . . . . . . 7 TopOn
108, 9syl 16 . . . . . 6
1110adantr 465 . . . . 5
128lmbr 19625 . . . . . . 7
1312biimpa 484 . . . . . 6
1413simp3d 1010 . . . . 5
15 lmcl 19664 . . . . . 6 TopOn
168, 15sylan 471 . . . . 5
17 eleq2 2540 . . . . . . 7
18 feq3 5721 . . . . . . . 8
1918rexbidv 2978 . . . . . . 7
2017, 19imbi12d 320 . . . . . 6
2120rspcv 3215 . . . . 5
2211, 14, 16, 21syl3c 61 . . . 4
237, 22exlimddv 1702 . . 3
24 uzf 11097 . . . 4
25 ffn 5737 . . . 4
26 reseq2 5274 . . . . . 6
27 id 22 . . . . . 6
2826, 27feq12d 5726 . . . . 5
2928rexrn 6034 . . . 4
3024, 25, 29mp2b 10 . . 3
3123, 30sylib 196 . 2
32 lmff.4 . . . 4
33 lmff.1 . . . . 5
3433rexuz3 13160 . . . 4
3532, 34syl 16 . . 3
3613simp1d 1008 . . . . . . 7
377, 36exlimddv 1702 . . . . . 6
38 pmfun 7450 . . . . . 6
3937, 38syl 16 . . . . 5
40 ffvresb 6063 . . . . 5
4139, 40syl 16 . . . 4
4241rexbidv 2978 . . 3
4341rexbidv 2978 . . 3
4435, 42, 433bitr4d 285 . 2
4531, 44mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818  cpw 4016  cop 4039   class class class wbr 4453   cdm 5005   crn 5006   cres 5007   wfun 5588   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cpm 7433  cc 9502  cz 10876  cuz 11094  TopOnctopon 19262  clm 19593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-neg 9820  df-z 10877  df-uz 11095  df-top 19266  df-topon 19269  df-lm 19596 This theorem is referenced by:  lmle  21606
 Copyright terms: Public domain W3C validator