Theorem lmfexlem3 9236

Description: Lemma for lmfex 9237. If F converges, so does the function G constructed from it.

Hypotheses

Ref	Expression
lmfexlem1.1	|- G = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}
lmfexlem3.1	|- X = dom dom D
lmfexlem3.3	|- N e. ZZ
lmfexlem3.4	|- Z = (ZZ>=` N)

Assertion

Ref	Expression
lmfexlem3	|- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> (G:Z-->X /\ G(~~>m` D)P))

Distinct variable groups:   z,h,F   P,h,z   h,X,z   h,Z,z

Proof of Theorem lmfexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmfexlem3.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2	1	lmcl 9227	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> P e. X)
3		lmfexlem1.1	. . . 4 |- G = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}
4	3	lmfexlem1 9234	. . 3 |- (P e. X -> G:Z-->X)
5	2, 4	syl 12	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> G:Z-->X)
6		lmfexlem3.3	. . . . 5 |- N e. ZZ
7		lmfexlem3.4	. . . . 5 |- Z = (ZZ>=` N)
8	1, 6, 7	lmbrf 9208	. . . 4 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ G:Z-->X) -> (G(~~>m` D)P <-> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x)))))
9	8, 5	syld3an3 1142	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> (G(~~>m` D)P <-> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x)))))
10	1, 6, 7	lmcvg 9210	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))
11	3	lmfexlem2 9235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((k e. Z /\ (F` k) e. X) -> (G` k) = (F` k))
12	11	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . 12 |- ((k e. Z /\ (F` k) e. X) -> ((G` k)DP) = ((F` k)DP))
13	12	breq1d 3348	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. Z /\ (F` k) e. X) -> (((G` k)DP) < x <-> ((F` k)DP) < x))
14	13	biimpar 461	. . . . . . . . . 10 |- (((k e. Z /\ (F` k) e. X) /\ ((F` k)DP) < x) -> ((G` k)DP) < x)
15	14	expl 420	. . . . . . . . 9 |- (k e. Z -> (((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x) -> ((G` k)DP) < x))
16	15	imim2d 28	. . . . . . . 8 |- (k e. Z -> ((j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)) -> (j <_ k -> ((G` k)DP) < x)))
17	16	ralimia 2166	. . . . . . 7 |- (A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)) -> A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x))
18	17	reximi 2198	. . . . . 6 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x))
19	10, 18	syl 12	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x))
20	19	exp32 408	. . . 4 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x))))
21	20	r19.21aiv 2175	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x)))
22	9, 2, 21	mpbir2and 802	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> G(~~>m` D)P)
23	5, 22	jca 310	1 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> (G:Z-->X /\ G(~~>m` D)P))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  ifcif 2982   class class class wbr 3338  {copab 3395  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  Metcme 9066  ~~>mclm 9197

This theorem is referenced by:  lmfex 9237

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-z 7345  df-uz 7587  df-lm 9200

Copyright terms: Public domain