Theorem lmfex 9237

Description: If F (not necessarily a function) converges, there is a function g that converges to the same point.

Hypotheses

Ref	Expression
lmfex.1	|- X = dom dom D
lmfex.3	|- N e. ZZ
lmfex.4	|- Z = (ZZ>=` N)

Assertion

Ref	Expression
lmfex	|- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> E.g(g:Z-->X /\ g(~~>m` D)P))

Distinct variable groups:   D,g   g,F   P,g   g,X   g,Z

Proof of Theorem lmfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . 3 |- {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}
2		lmfex.1	. . 3 |- X = dom dom D
3		lmfex.3	. . 3 |- N e. ZZ
4		lmfex.4	. . 3 |- Z = (ZZ>=` N)
5	1, 2, 3, 4	lmfexlem3 9236	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> ({<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}:Z-->X /\ {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} (~~>m` D)P))
6		fvex 4689	. . . . 5 |- (ZZ>=` N) e. _V
7	4, 6	eqeltri 1967	. . . 4 |- Z e. _V
8	7	opabex2 4539	. . 3 |- {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} e. _V
9		feq1 4551	. . . 4 |- (g = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} -> (g:Z-->X <-> {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}:Z-->X))
10		breq1 3341	. . . 4 |- (g = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} -> (g(~~>m` D)P <-> {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} (~~>m` D)P))
11	9, 10	anbi12d 690	. . 3 |- (g = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} -> ((g:Z-->X /\ g(~~>m` D)P) <-> ({<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}:Z-->X /\ {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} (~~>m` D)P)))
12	8, 11	cla4ev 2371	. 2 |- (({<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}:Z-->X /\ {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} (~~>m` D)P) -> E.g(g:Z-->X /\ g(~~>m` D)P))
13	5, 12	syl 12	1 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> E.g(g:Z-->X /\ g(~~>m` D)P))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  ifcif 2982   class class class wbr 3338  {copab 3395  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  Metcme 9066  ~~>mclm 9197

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-z 7345  df-uz 7587  df-lm 9200

Copyright terms: Public domain