Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmdvglim Structured version   Unicode version

Theorem lmdvglim 28389
Description: If a monotonic real number sequence  F diverges, it converges in the extended real numbers and its limit is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvglim.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
lmdvglim.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
lmdvglim.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  <_ 
( F `  (
k  +  1 ) ) )
lmdvglim.3  |-  ( ph  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
Assertion
Ref Expression
lmdvglim  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
Distinct variable groups:    k, F    k, J    ph, k

Proof of Theorem lmdvglim
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvglim.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
2 lmdvglim.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  <_ 
( F `  (
k  +  1 ) ) )
3 lmdvglim.3 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
41, 2, 3lmdvg 28388 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
( F `  k
) )
5 lmdvglim.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
6 icossicc 11665 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
7 fss 5722 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
81, 6, 7sylancl 660 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
9 eqidd 2403 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( F `  k
) )
105, 8, 9lmxrge0 28387 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  ( F `  k ) ) )
114, 10mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525   +oocpnf 9655    < clt 9658    <_ cle 9659   NNcn 10576   ZZ>=cuz 11127   [,)cico 11584   [,]cicc 11585    ~~> cli 13456   ↾s cress 14842   TopOpenctopn 15036   RR*scxrs 15114   ~~> tclm 20020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-rest 15037  df-topn 15038  df-topgen 15058  df-ordt 15115  df-xrs 15116  df-ps 16154  df-tsr 16155  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-lm 20023
This theorem is referenced by:  esumcvg  28533
  Copyright terms: Public domain W3C validator